§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

45. Интегрирование линейного уравнения с помощью степенного ряда

Решения линейного уравнения с переменными коэффициентами выше первого порядка, как мы уже говорили, не выражаются, вообще говоря, через элементарные функции, и интегрирование такого уравнения не приводится, вообще говоря, к квадратурам. Наиболее употребительным приемом является представление искомого решения в виде степенного ряда, о чем мы уже говорили [16]. Этот прием является особенно удобным именно в применении к линейным дифференциальным уравнениям. Мы ограничимся рассмотрением уравнения второго порядка

Положим, что коэффициенты представляются в виде рядов, расположенных по целым положительным степеням х, так что уравнение имеет вид

Обращаем внимание на то, что коэффициент при у мы считаем равным единице.

Будем искать решение уравнения (2) также в виде степенного ряда

Подставив это выражение у и его производных в уравнение (2), находим

Перемножая степенные ряды, собирая подобные члены и приравнивая нулю коэффициенты при различных степенях х в левой части написанного равенства, получим ряд уравнений

Через мы обозначили однородный многочлен первой степени от аргументов .

Каждое последующее из написанных уравнений содержит одним искомым коэффициентом больше предыдущего. Коэффициенты остаются произвольными и играют роль произвольных постоянных. Первое из уравнений (4) дает о а затем второе дает третье и т. д., и вообще из уравнения можно определить зная предыдущие .

При этом удобно поступать следующим образом. Определим вышеуказанным способом два решения причем для первого решения примем для второго , что равносильно следующим начальным условиям:

Всякое решение уравнения будет линейной комбинацией этих решений, и если начальные условия имеют вид

то, очевидно,

Выше мы показали, что путем формальных вычислений можно пойепенно определять коэффициенты стеленного ряда (3) Но остается открытым вопрос о том, будет ли таким образом построенный стеленной ряд сходящимся и будет ли он давать решение уравнения. В томе III мы дадим доказательство следующего предложения: если Ряды

сходятся при при этих значениях х построенный Указанным выше образом степенной ряд будет также сходящимся и явится решением уравнения (2). В частности, если

и — многочлены от х, то найденный степенной ряд будет сходиться при любом значении х.

Во многих случаях линейное уравнение имеет вид

где — многочлены от х. Чтобы привести его к виду (1), надо разделить обе части уравнения на так что в этом случае надо считать

Если свободный член многочлена отличен от нуля, т. е. , то, производя деление многочленов, расположенных по возрастающим степеням можно представить в виде степенных рядов, и решение уравнения (5) также можно искать в виде степенного ряда. При этом нет необходимости приводить уравнение (5) к виду но проще непосредственно подставить выражение (3) для у в левую часть уравнения (5) и затем применить способ неопределенных коэффициентов.

До сих пор мы рассматривали лишь степенные ряды, расположенные по. целым положительным степеням Вместо этого можно было бы пользоваться рядами, расположенными по степеням разности .

Все сказанное выше, очевидно, применяется и к линейным уравнениям выше второго порядка. Только в этом случае при отыскании решения в виде степенного ряда остаются неопределенными не первые два коэффициента, но число их, равное порядку уравнения.

Если имеется линейное неоднородное уравнение

у которого не только коэффициенты, но и свободный член суть степенные ряды, то его частное решение также можно искать в виде степенного ряда.

Сделаем одно замечание по поводу формул (6). Пусть два многочлена от причем Производя, как выше было сказано, деление многочленов, можем представить их частное в виде степенного ряда

но возникает вопрос: будет ли ряд, стоящий справа, сходящимся, и если это так, то в каком промежутке он будет сходиться, и будет ли его сумма равна левой части равенства? Решение этих вопросов очень просто вытекает из теории функций комплексной переменной, которая будет изложена в томе . Мы приведем здесь лишь окончательный результат; степенной ряд формулы (7) сходится при

— модуль (или абсолютное значение) того корня уравнения который имеет наименьший модуль, и равенство (7) имеет место при указанных значениях Отсюда вытекает, между прочим, что если интегрировать непосредственно уравнение (5) при помощи степенного ряда, то полученный ряд будет наверно сходящимся при , где R — модуль наименьшего по модулю корня уравнения .

Заметим, что если доказать сходимость ряда (3) внутри промежутка то отсюда будет непосредственно вытекать, что сумма этого ряда дает решение уравнения. Действительно, прежде всего можно вычислять простым почленным дифференцированием ряда (3) [1, 150]. Далее, подставляя выражения в левую часть уравнения (2), мы можем почленно перемножать ряды на ряды ввиду того, что стеленные ряды сходятся абсолютно [I, 137, 148]. Наконец, в силу выбора коэффициентов из равенств (4), мы имеем сокращение всех членов в левой части (2).