§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
45. Интегрирование линейного уравнения с помощью степенного ряда
Решения линейного уравнения с переменными коэффициентами выше первого порядка, как мы уже говорили, не выражаются, вообще говоря, через элементарные функции, и интегрирование такого уравнения не приводится, вообще говоря, к квадратурам. Наиболее употребительным приемом является представление искомого решения в виде степенного ряда, о чем мы уже говорили [16]. Этот прием является особенно удобным именно в применении к линейным дифференциальным уравнениям. Мы ограничимся рассмотрением уравнения второго порядка
Положим, что коэффициенты
представляются в виде рядов, расположенных по целым положительным степеням х, так что уравнение имеет вид
Обращаем внимание на то, что коэффициент при у мы считаем равным единице.
Будем искать решение уравнения (2) также в виде степенного ряда
Подставив это выражение у и его производных в уравнение (2), находим
Перемножая степенные ряды, собирая подобные члены и приравнивая нулю коэффициенты при различных степенях х в левой части написанного равенства, получим ряд уравнений
Через
мы обозначили однородный многочлен первой степени от аргументов
.
Каждое последующее из написанных уравнений содержит одним искомым коэффициентом больше предыдущего. Коэффициенты
остаются произвольными и играют роль произвольных постоянных. Первое из уравнений (4) дает о а затем второе дает третье
и т. д., и вообще из
уравнения можно определить зная предыдущие
.
При этом удобно поступать следующим образом. Определим вышеуказанным способом два решения
причем для первого решения примем
для второго
, что равносильно следующим начальным условиям:
Всякое решение уравнения будет линейной комбинацией этих решений, и если начальные условия имеют вид
то, очевидно,
Выше мы показали, что путем формальных вычислений можно пойепенно определять коэффициенты стеленного ряда (3) Но остается открытым вопрос о том, будет ли таким образом построенный стеленной ряд сходящимся и будет ли он давать решение уравнения. В томе III мы дадим доказательство следующего предложения: если Ряды
сходятся при
при этих значениях х построенный Указанным выше образом степенной ряд будет также сходящимся и явится решением уравнения (2). В частности, если
и
— многочлены от х, то найденный степенной ряд будет сходиться при любом значении х.
Во многих случаях линейное уравнение имеет вид
где
— многочлены от х. Чтобы привести его к виду (1), надо разделить обе части уравнения на
так что в этом случае надо считать
Если свободный член многочлена
отличен от нуля, т. е.
, то, производя деление многочленов, расположенных по возрастающим степеням
можно представить
в виде степенных рядов, и решение уравнения (5) также можно искать в виде степенного ряда. При этом нет необходимости приводить уравнение (5) к виду
но проще непосредственно подставить выражение (3) для у в левую часть уравнения (5) и затем применить способ неопределенных коэффициентов.
До сих пор мы рассматривали лишь степенные ряды, расположенные по. целым положительным степеням
Вместо этого можно было бы пользоваться рядами, расположенными по степеням разности
.
Все сказанное выше, очевидно, применяется и к линейным уравнениям выше второго порядка. Только в этом случае при отыскании решения в виде степенного ряда остаются неопределенными не первые два коэффициента, но число их, равное порядку уравнения.
Если имеется линейное неоднородное уравнение
у которого не только коэффициенты, но и свободный член суть степенные ряды, то его частное решение также можно искать в виде степенного ряда.
Сделаем одно замечание по поводу формул (6). Пусть
два многочлена от
причем
Производя, как выше было сказано, деление многочленов, можем представить их частное в виде степенного ряда
но возникает вопрос: будет ли ряд, стоящий справа, сходящимся, и если это так, то в каком промежутке он будет сходиться, и будет ли его сумма равна левой части равенства? Решение этих вопросов очень просто вытекает из теории функций комплексной переменной, которая будет изложена в томе
. Мы приведем здесь лишь окончательный результат; степенной ряд формулы (7) сходится при
— модуль (или абсолютное значение) того корня уравнения
который имеет наименьший модуль, и равенство (7) имеет место при указанных значениях
Отсюда вытекает, между прочим, что если интегрировать непосредственно уравнение (5) при помощи степенного ряда, то полученный ряд будет наверно сходящимся при
, где R — модуль наименьшего по модулю корня уравнения
.
Заметим, что если доказать сходимость ряда (3) внутри промежутка
то отсюда будет непосредственно вытекать, что сумма этого ряда дает решение уравнения. Действительно, прежде всего можно вычислять
простым почленным дифференцированием ряда (3) [1, 150]. Далее, подставляя выражения
в левую часть уравнения (2), мы можем почленно перемножать ряды
на ряды
ввиду того, что стеленные ряды сходятся абсолютно [I, 137, 148]. Наконец, в силу выбора коэффициентов
из равенств (4), мы имеем сокращение всех членов в левой части (2).