127. Уравнения гидродинамики идеальной жидкости.
Под идеальной жидкостью мы будем подразумевать такую деформируемую сплошную среду, в которой внутренние силы — находится ли она в состоянии равновесия или движения — приводятся к нормальному давлению, так что если выделить в этой среде некоторый объем
ограниченный поверхностью (5), то действие на него остальной части среды приводится к силе, направленной в каждой точке (S) по внутренней нормали. Обозначим величину этой силы (давление), отнесенную на единицу площади, буквой р. В каждый данный момент давление
дает некоторое скалярное поле. Равнодействующая сил давления на поверхности объема
выразится, в силу (50), интегралом
где знак
поставлен потому, что положительное давление действует в направлении внутренней нормали, а вектор
по условию направлен по внешней нормали.
Применяя принцип Даламбера, мы должны уравновесить силу давления внешними силами, которые мы относим к единице массы и обозначаем F, что дает в объеме
равнодействующую
и, наконец, силою инерции, которая на элемент массы будет
, где
плотность, W — вектор ускорения жидкой частицы. На объем
сила инерции будет
Итак, согласно принципу Даламбера, мы должны иметь
откуда, в силу произвольности (v), как и выше, можно заключить, что подынтегральная функция равна нулю, и тогда получим
В этой формуле заключаются три уравнения, которые являются основными уравнениями гидродинамики идеальной жидкости.
Пусть
составляющие вектора скорости, выраженные как функции координат точек
и времени L Слагающая вектора ускорения W по оси ОХ будет равна полной производной по времени от составляющей
вектора скорости, так что мы можем написать
ИЛИ
Совершенно так же
Таким образом векторное уравнение (72) приведет нас к трем уравнениям:
Это — так называемые уравнения гидродинамики в форме Эйлера. К этим уравнениям надо присоединить еще уравнение непрерывности, которое мы вывели в предыдущем номере. Пользуясь настоящими обозначениями, можем переписать уравнение (69) в виде
Характерной особенностью написанных уравнений является то обстоятельство, что при исследовании движения мы выбрали за независимые переменные координаты точки пространства
и время t. В некоторых случаях вместо координат точек пространства
за независимые переменные выбирают координаты того положения жидкой частицы, которое она имела в начальный момент времени. При таком выборе независимых переменных уравнения гидродинамики, конечно, будут выглядеть иначе. Уравнения (73) и (74) — четыре уравнения, содержащие пять неизвестных функций
. К этой системе надо добавить еще одно уравнение. Можно считать, например, что плотность постоянна или что имеется определенная зависимость между плотностью и давлением
(уравнение состояния).