127. Уравнения гидродинамики идеальной жидкости.

Под идеальной жидкостью мы будем подразумевать такую деформируемую сплошную среду, в которой внутренние силы — находится ли она в состоянии равновесия или движения — приводятся к нормальному давлению, так что если выделить в этой среде некоторый объем ограниченный поверхностью (5), то действие на него остальной части среды приводится к силе, направленной в каждой точке (S) по внутренней нормали. Обозначим величину этой силы (давление), отнесенную на единицу площади, буквой р. В каждый данный момент давление дает некоторое скалярное поле. Равнодействующая сил давления на поверхности объема выразится, в силу (50), интегралом

где знак поставлен потому, что положительное давление действует в направлении внутренней нормали, а вектор по условию направлен по внешней нормали.

Применяя принцип Даламбера, мы должны уравновесить силу давления внешними силами, которые мы относим к единице массы и обозначаем F, что дает в объеме равнодействующую

и, наконец, силою инерции, которая на элемент массы будет , где плотность, W — вектор ускорения жидкой частицы. На объем сила инерции будет

Итак, согласно принципу Даламбера, мы должны иметь

откуда, в силу произвольности (v), как и выше, можно заключить, что подынтегральная функция равна нулю, и тогда получим

В этой формуле заключаются три уравнения, которые являются основными уравнениями гидродинамики идеальной жидкости.

Пусть составляющие вектора скорости, выраженные как функции координат точек и времени L Слагающая вектора ускорения W по оси ОХ будет равна полной производной по времени от составляющей вектора скорости, так что мы можем написать

ИЛИ

Совершенно так же

Таким образом векторное уравнение (72) приведет нас к трем уравнениям:

Это — так называемые уравнения гидродинамики в форме Эйлера. К этим уравнениям надо присоединить еще уравнение непрерывности, которое мы вывели в предыдущем номере. Пользуясь настоящими обозначениями, можем переписать уравнение (69) в виде

Характерной особенностью написанных уравнений является то обстоятельство, что при исследовании движения мы выбрали за независимые переменные координаты точки пространства и время t. В некоторых случаях вместо координат точек пространства за независимые переменные выбирают координаты того положения жидкой частицы, которое она имела в начальный момент времени. При таком выборе независимых переменных уравнения гидродинамики, конечно, будут выглядеть иначе. Уравнения (73) и (74) — четыре уравнения, содержащие пять неизвестных функций . К этой системе надо добавить еще одно уравнение. Можно считать, например, что плотность постоянна или что имеется определенная зависимость между плотностью и давлением (уравнение состояния).