75. Случай многосвязной области.

Доказательство того, что условие (27) является необходимым и достаточным для того, чтобы криволинейный интеграл

не зависел от пути, существенным образом основано на следующих двух обстоятельствах:

1) Функции Р и Q и их частные производные первого порядка непрерывны в рассматриваемой области (D) изменения

2) Если в области (D) начерчен какой-либо замкнутый контур , то вся часть плоскости, заключенная внутри , принадлежит той области, где выполнены условия непрерывности и условие (27).

Первое условие важно потому, что упомянутые в нем функции входят под знак интеграла при доказательстве. Второе существенно для применения формулы Грина, т. е. для преобразования криволинейного интеграла к двукратному. Оно равносильно тому, что всякий замкнутый контур, начерченный в области, может быть непрерывным сужением приведен к точке, не выходя из области, или проще говоря, это условие равносильно тому, что область не имеет дыр.

Рис. 64.

Положим теперь, что функции Р и Q непрерывны со своими производными и условие (27) выполнено в некоторой области, имеющей две дыры (рис. 64). Если в такой области взять замкнутый контур внутри которого нет дыр, то к такому контуру и области, им ограниченной, приложима формула Грина (18), и в силу условия (27) интеграл по такому замкнутому контуру будет нуль. Возьмем теперь замкнутый контур (4), обходящий вокруг дыры Здесь формула (18) неприменима, и интеграл (28) по вообще говоря, окажется отличным от нуля. Покажем, что величина этого интеграла не зависит от вида контура и важно лишь, что этот

контур обходит вокруг одной дыры (I). Возьмем два контура обходящих вокруг (I). Нам надо показать, что величины интеграла (28) по одинаковы. Проведем вспомогательный контур соединяющий Кривые совместно являются контуром области, уже не имеющей дыр, причем этот контур должен обходиться в направлении, указанном стрелкой. К этому контуру, следовательно, приложима формула (18), и, в силу (27), интеграл по этому контуру будет нуль:

При этом интегралы по взятые в противоположных направлениях, сокращаются, интегрирование по надо производить по часовой стрелке и по против часовой стрелки. Меняя направление интегрирования по (4) и знак при интеграле, что не меняет результата, получим

или окончательно

т. е. действительно интегралы по взятые оба, как всегда, против часовой стрелки, одинаковы по величине. Таким образом дыре (I) соответствует определенная постоянная равная величине интеграла (28), взятого по любому замкнутому контуру, обходящему вокруг (I). Точно так же дыре (11) соответствует другая постоянная .

Если в области (D) проведем два разреза от дыр к внешнему контуру (рис. 65), то получится новая область, не имеющая уже внутри дыр, и, в силу (27), в этой области можно построить однозначную функцию

но, в силу предыдущего, значения этой функции на противоположных краях разреза отличаются на постоянную а на постоянную Если уничтожить разрезы и вернуться к исходной области (D), то в ней функция будет многозначной. Обход вокруг дыр будет придавать этой функции слагаемые т. е. функция будет

Рис. 65.

содержать неопределенное слагаемое вида , где — любые целые числа. Все наши рассуждения очевидно годятся для любого числа дыр в области, причем дыры могут быть и точечными, т. е. состоять из одной лишь точки. Число дыр, увеличенное на единицу, называется обычно степенью связности области (D), а сама область с дырами — многосвязной областью. Числа и называются циркуляциями выражения или циклическими постоянными функции

Пример. Рассмотрим функцию

определенную в области (D), ограниченной двумя концентрическими окружностями с центром в начале координат. Определим Р и Q но формулам

Эти функции непрерывны в (D) со своими производными, и, как нетрудно проверить, удовлетворяют соотношению (27). Рассмотрим криволинейный интеграл

и возьмем его по окружности с центром в начале и некоторым радиусом . Подставляя получим

В данном случае область (D) имеет одну дыру, и циклическая постоянная Функция является полярным углом

и при обходе вокруг дыры приобретает слагаемое Заметим, что радиус внутренней окружности можно считать нулем, т. е. можно считать дыру точечной. Дело сведется к исключению точки . В этой точке функции Р и 0 (37) принимают неопределенную форму .