122. Потенциальное и соленоидальное поля.

В [120] мы получили векторное поле являющееся градиентом некоторой скалярной функции U (М). Такое векторное поле называется потенциальным полем. Не всякое векторное поле будет, конечно, полем потенциальным, и мы укажем сейчас необходимые и достаточные условия, при которых заданное векторное поле будет потенциальным. Соотношение равносильно [120]

т. е. равносильно тому, что выражение

есть полный дифференциал некоторой функции. В [76] мы видели, что для этого необходимо и достаточно выполнение трех условий:

а эти три условия в свою очередь равносильны равенству нулю вихря поля: , т. е. для того, чтобы векторное поле было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы вихрь этого поля равнялся нулю. Если это условие выполнено, то, согласно [76], потенциал поля определяется в виде контурного интеграла

Может случиться, что выражение (43) не будет полным дифференциалом, но будет допускать интегрирующий множитель, т. е. будет существовать такая функция точки , что выражение

будет полным дифференциалом. Назовем такое поле квазипотенциальным. Как мы видели в [79], характерной особенностью такого поля будет существование семейства поверхностей , ортогональных к векторным линиям поля, причем из (45) следует, что или

т. е. поле А будет в этом случае отличаться от потенциального

поля численным множителем имеющим в различных точках пространства различные значения.

Необходимое и достаточное условие квазипотенциальности поля выражается формулой [79]:

что можно написать так:

т. е. необходимым и достаточным условием существования семейства поверхностей, ортогональных к векторным линиям поля, является условие (46), т. е. перпендикулярность векторов или равенство нулю .

Заметим, что если пространство, занятое полем, многосвязно, то потенциал поля, определяемый по формуле (44), может оказаться многозначной функцией [76].

Выше мы исследовали векторное поле, у которого вихрь равен нулю, и обнаружили, что такое поле есть поле потенциальное. Векторное поле А, у которого расходимость равна нулю, т. е. выполнено тождественное условие называется соленоидальным.

В силу формулы (37) для такого поля имеем

где (S) — произвольная замкнутая поверхность, внутри которой наше поле везде существует.

Рис. 91.

Примем за поверхность (S) часть некоторой векторной трубки, выделенную двумя ее сечениями и (рис. 91). На боковой поверхности трубки так как А находится в касательной плоскости к этой боковой поверхности. Если для сечений и (S возьмем направление нормали ) в одну и ту же сторону по отношению к движению вдоль трубки, то на одном сечении это будет внутренняя нормаль, а на другом -внешняя по отношению к выделенной части векторной трубки. Применяя к ней формулу (47), будем иметь

причем знак в интеграле по вызван тем обстоятельством, что на направление противоположно направлению внешней нормали. Предыдущее равенство показывает, что интеграл

в случае соленоидального поля имеет одно и то же значение для всех сечений (S) векторной трубки. Он дает поток поля через сечение (S) и называется обычно напряжением векторной трубки в сечении (S). Таким образом для соленоидального поля напряжение имеет одно и то же значение во всех сечениях векторной трубки. Если при движении вдоль векторной трубки площадь ее сечения увеличивается, т. е. векторная трубка расширяется, то интенсивность потока, т. с. величина вообще говоря, уменьшается так, что величина интеграла (48) остается неизменной.