161. Класс L2

Настоящий и следующий номера являются подготовительными для [163], в котором мы излагаем теорию ортонормированных систем измеримых функций, но результаты их имеют и большой самостоятельный интерес в теории Лебега.

Пусть Е — какое-либо измеримое множество на прямой или вообще в -мерном пространстве и класс вещественных функций измеримых на Е и таких, что функция суммируема на Е, т. е.

Отметим, что отсюда следует, что почти везде на Е принимает конечные значения. В дальнейшем вместо мы будем писать и не будем записывать аргумента х у функций. Докажем некоторые теоремы о классе .

Теорема 1. Если функции f и то произведение суммируемо на Е.

Это следует из очевидного неравенства

Замечание. Если Е — множество конечной меры и , то суммируемо на Е.

Это следует из предыдущего неравенства при

Теорема 2. Если то и функции где с — постоянная.

Утверждение относительно очевидно, а для следует из теоремы 1 и [108, 111].

Теорема 3. Если то имеет место неравенство

Если функция или g эквивалентна нулю, то левая и правая части (60) равны нулю. Будем считать, что и g не эквивалентны нулю на Е. Заметим прежде всего, что если в квадратном трехчлене коэффициенты вещественны и то из формулы

следует, что если указанный трехчлен при всех вещественных t имеет неотрицательные значения, то Из очевидной формулы

и того факта, что правая часть последней формулы при всех t неотрицательна, и следует (60). Отметим, что коэффициент при положителен, так как функция не эквивалентна нулю на Е. Неравенство (60) справедливо, очевидно, и для интегралов Римана.

Теорема 4. Если то имеет место неравенство

Из (60) следует

Умножим обе части на 2 и добавим к обоим частям полученного неравенства интегралы от Это приведет нас к неравенству

из которого непосредственно следует (61).