110. Теорема Фубини.

Для кратного интеграла Лебега теоремы в сведении такого интеграла к одномерным интегралам имеют очень простую и общую форму. Мы приведем лишь результат Сначала сформулируем теорему для двойного интеграла на прямоугольнике.

Теорема 1. Пусть суммируемая функция на прямоугольнике . При этом измерима и суммируема по у на промежутке с для всех или почти всех значений из промежутка функция

суммируема по промежутку и имеет место равенство

Совершенно аналогичные утверждения имеют место и при перемене порядка интегрирования.

Отметим, что если функция определена лишь почти везде, то ее можно доопределить на множестве меры нуль, полагая ее, например, равной пулю на этом множестве. Совершенно такое же замечание относится и к функции

определенной везде или почти везде на промежутке Указанная выше теорема была установлена итальянским математиком Фубини. Из (89) и (90) следует

т. е. возможность для суммируемой на А функции менять порядок интегрирования.

При предположении суммируемости на А мы имели мулы (89) и (90). Обратное заключение о существовании двойного интеграла по А, если имеют смысл повторные интегралы, стоящие в правых частях формул — неправильно. Но если неотрицательна на А, то имеет место следующая

Теорема 2. Если измерима и неотрицательна на А и существует повторный интеграл правой части формулы (89) или (90), то суммируема на А.

Но из суммируемости на А следуют формулы (89), (90) и (92).

Замечание. Если меняет знак, но для существует повторный интеграл, правой части формулы (89) или (90), то, согласно теореме суммируема на Е, но при этом и суммируема на Е. Таким образом, формулы и (92) имеют место, если мы убедились, что один из повторных интегралов существует для

Если суммируема на измеримом ограниченном множестве то имеет место формула

где множество точек Е, имеющих заданную абсциссу налогичное множество, проекции Е на оси ОХ и ОY

Интегралы по могут не иметь смысла для значений х и у, образующих на осях ОХ и OY множества меры нуль. могут быть на этих множествах меры нуль неизмеримы.) Для доказательства формулы (93) достаточно покрыть Е конечным промежутком А и применить формулы (89) и (90) к функции определенной на А, равной на и нулю на оставшейся части . Формула (93) имеет место и для функций» суммируемых на неограниченных множествах конечной меры.

Нее сказанное выше об измеримых множествах, измеримых функциях и интеграле Лебега сохраняет справедливость как в линейном случае, так и в -мерном пространстве . В линейном случае теорема Фубини, естественно, отсутствует. Сформулируем эту теорему в многомерном случае.

Теорема 3. Пусть промежуток в пространстве имеющем измерений:

следующие промежутки в пространствах

Пусть, далее, функция, суммируемая на Ясли фиксируем некоторую точку N из будет измеримой и суммируемой в при любом выборе, кроме, может быть, множества точек меры нуль в Интеграл от этой функции по

дает суммируемую в функцию и имеет место формула

Приведем еще два результата, непосредственно связанных с теоремой Фубини. Мы формулируем их для случая функции двух независимых переменных определенной на конечном промежутке

Если измерима на А, то для почти всех из промежутка она измерима по у на промежутке Роли х и у при этом можно поменять

2. Если измерима на и для почти всех из существует интеграл

то измерима на промежутке