27. Линейные уравнения высших порядков.

Линейные уравнения высших порядков обладают многими свойствами уравнения второго порядка. Мы их формулируем, не останавливаясь на доказательствах.

Линейным однородным уравнением порядка называется уравнение вида

Если — его решения, то и сумма

также будет решением при произвольных постоянных . Это доказывается совершенно так же, как и для уравнения второго порядка [26].

Теорема существования и единственности формулируется так же, как и для уравнения второго порядка, причем начальные условия имеют вид

Решения называются линейно независимыми, если между ними не существует тождественного относительно соотношения

с постоянными коэффициентами среди которых есть отличные от нуля.

Если — линейно независимых решений уравнения, то формула

где С — произвольные постоянные, дает все решения этого уравнения. Располагая постоянными Q, можно получить решение, удовлетворяющее указанным выше начальным условиям.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение порядка имеет вид

Если — какое-либо решение этого уравнения и линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения формула

где — произвольные постоянные, дает общее решение уравнения (19).

При этом, если известны, то решение уравнения (19) может быть получено по формуле

где определяется из системы уравнений первой степени

Для читателя, знакомого с теорией определителей, можно указать необходимое и достаточное условие линейной независимости, совершенно аналогичное тому, которое мы дали выше для уравнений второго порядка. Пусть, как и выше, решения уравнения (17). Определителем Вронского этих решений называется следующий определитель порядка:

и для него можно доказать формулу, аналогичную формуле (5):

где значение при . Из этой формулы, как и выше, вытекает, что или тождественно равно нулю, или не обращается в нуль ни при каком значении Необходимое и достаточное условие линейной независимости решений и состоит в том, что их определитель Вронского не равен тождественно нулю. При этом по любым начальным условиям вполне определяются произвольные постоянные формулы (18). Как и для уравнений второго порядка, теорема существования и единственности дает решение во всем том промежутке, где коэффициенты уравнения суть непрерывные функции.