95. Квадрируемые множества.

Множество Е называется квадрируемым, если , т. е. если его внутренняя и внешняя меры одинаковы. Общая величина этих мер называется при этом мерою множества Е и обозначается .

Отметим, что если мы будем говорить о мере какого-нибудь множества, то этим самым утверждается, что это множество квадрируемо. Если то, как мы видели, Е—квадрируемо и Обратно, если , то . Такие множества меры нуль будут дальше играть большую роль. Необходимое и достаточное условие квадрируемости состоит, очевидно, в том, что имеют одинаковые пределы при т. е. в том, что при Пусть как и выше, граница некоторого ограниченного множества Е. Точечное множество I не имеет внутренних точек, для него (5) — пустое множество при любой сетке квадратов и Множество — состоит из тех квадратов сетки, которые имеют общие точки с и необходимое и достаточное условие квадрируемости при сводится к тому, что для т. е. к тому, что Итак,

Теорема. Для квадрируемости Е необходимым и достаточным условием является равенство

Нетрудно показать, что всякое множество типа (а) квадрируемо и его мера равна его площади, т. е. сумме площадей, составляющих его квадратов. Пусть некоторое множество имеет меру нуль, и пусть задано Выбирая достаточно малым, мы получим для величины S, соответствующей неравенство Окружая каждый квадрат, принадлежащий к (S), восемью прилегающими квадратами сетки, и причисляя их к (S), если они раньше не входили в (S), придем к следующему результату: при любом заданном множество меры нуль можно заключить строго внутрь множества типа (а), площадь которого меньше

Результаты последних двух номеров легко приводят к следующим утверждениям:

1. Всякая часть множества меры нуль есть множество меры, нуль. Сумма конечного числа множеств меры нуль есть ство меры нуль.

2. Если множества — квадрируемы и

3. Если квадрируемые множества, не имеющие общих внутренних точек, то их сумма квадрируемое множество и

Докажем последнее утверждение. Пусть множества типа (а) для для условию, имеют общих точек, по при сложении появиться в I: новые квадраты, так . С другой стороны, сумма множеств покрывающих вместе с их границами, покрывает и U с ее границей, ибо всякая точка границы Е является граничной по крайней мере для одного из откуда Отметим, что некоторые из квадратов могут совпадать. Таким образом, приходим к неравенству

При беспредельном измельчении сетки откуда и , т. е. Е — квадрируемое множество и

Доказанное свойство имеет место и для конечного числа слагаемых не имеющих попарно общих внутренних точек (свойство аддитивности мер ).

В дальнейшем мы часто будем иметь дело с открытыми множествами и областями. Пусть Е — открытое квадрируемое множество и его граница (меры нуль). Разобьем Е при помощи конечного числа линий , каждая из которых есть замкнутое множество меры нуль. Сумма замкнутых множеств и множества есть замкнутое множество меры нуль. Обозначим ею буквою Вычитая из сумму получим открытое квадрируемое множество Все точки его границы принадлежат

Положим, что разбиение Е производится прямыми, параллельными геями, и рассмотрим те частичные прямоугольники (или квадраты), которые содержат точки Число таких прямоугольников конечно, и множество точек внутри каждого из них, есть некоторое открытое квадрируемое множество, граничные точки которого могут лежать или на 1: или на границе соответствующего прямоугольника. Мы получаем, таким образом, конечное число квадрируемых открытых множеств сумма мер которых равна мере Е и диаметр не больше диагонали соответствующего прямоугольника. В дальнейшем при разбиении квадрируемого открытого множества (или области) на части мы будем всегда подразумевав,

что это производится линиями, имеющими меру нуль. Если область, то при некоторых свойствах мы и в каждом частичном прямоугольнике будем иметь область.

Дадим теперь простой пример линии X меры нуль, а именно положим, что X имеет явное уравнение , где -непрерывная функция на конечном промежутке . В силу равномерной непрерывности при заданном существует такое 80, что Выберем так, чтобы оно было меньше меньше При построении сетки квадратов промежуток разобьется на части: причем для средних частей Возьмем те квадраты сетки, которые находятся в одной полосе между (рис. 78). В силу можем утверждать, что колебание в промежутке меньше Квадрат, имеющий общую точку с самой нижней (верхней) точкой линии на промежутке может идти вниз (наверх), самое большее на . Таким образом, сумма высот квадратов сетки, имеющих общие точки с линией X и содержащихся в упомянутой полссе, меньше или, в силу эта сумма меньше а сумма площадей этих квадратов меньше . Суммируя по к от до видим, что сумма площадей квадратов, имеющих с X точки, меньше , откуда, в виду произвольности , следует, что Совершенно также можно показать, что линия где непрерывна в некотором конечном замкнутом промежутке, имеет меру, равную нулю. Назовем простой всякую кривую, которая может быть разбита на конечное число частей, каждая из которых имеет Уравнение или где непрерывны соответствующих конечных замкнутых промежутках. Из предыдущего следует, что простая кривая также имеет меру, равную нулю. Такая кривая может быть замкнутой кривой, которая не пересекает сама себя. При этом она является границей квадрируемой области.

Рис. 78

Можно показать, что если кривая имеет параметрическое представление где а также их производные непрерывны на некотором конечном промежутке кривая не пересекает сама себя, и производные не обращаются одновременно в нуль, если t принадлежит к указанному промежутку то . Если но кривая не пересекает сама себя при замкнутая, сама себя не пересекающая кривая и, при указанных условиях гладкости, ее мера равна нулю.

Интеграл как нетрудно показать, дает площадь в указанном выше смысле области, ограниченной кривой осью и прямыми причем мы считаем, что непрерывна при и положительна.

Отметим, что при определении внутренней и внешней меры и квадрируемости мы могли бы пользоваться не сеткой равных квадратов, а сеткой прямоугольников со сторонами, параллельными осям, и считать при этом площадь прямоугольника равной , т. е. произведению его сторон.