§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

15. Общие понятия.

Обыкновенное дифференциальное уравнение порядка имеет вид

или, в решенном относительно старшей производной виде

Всякая функция имеющая непрерывные производные до порядка n и удовлетворяющая уравнению (1) или (2), называется решением этого уравнения, а самая задача нахождения решений дифференциального уравнения называется задачей интегрирования дифференциального уравнения.

В качестве примера рассмотрим прямолинейное движение точки массы т под действием силы F, зависящей от времени, положения точки и ее скорости. Приняв прямую, по которой движется точка, за ось ОХ, будем, согласно сказанному, считать, что сила F есть заданная функция времени t, а также х и . По закону Ньютона

произведение массы точки на ее ускорение равно действующей силе. Это дает нам дифференциальное уравнение движения

Интегрирование этого уравнения второго порядка определит зависимость от t, т. е. движение точки под влиянием заданной силы. Для получения определенного решения задачи мы должны задать еще начальные условия движения, а именно положение точки и ее скорость в некоторый начальный момент времени, например при :

Для уравнения порядка (1) или (2) начальные условия состоят в задании функции у и ее производных до порядка включительно при некотором определенном значении

В этих условиях определенные числа. Для уравнения порядка (2) имеет место теорема существования и единственности, совершенно аналогичная теореме А из [2]. Сформулируем ее в несколько иной форме, чем это мы делали в [2].

Теорема А. Если есть функция своих аргументов, которые считаются все независимыми переменными однозначная, непрерывная и имеющая непрерывные частные производные по при значениях аргументов всех значениях, достаточно близких к ним, то уравнение (2) имеет одно и только одно решение, удовлетворяющее начальным условиям (5).

Мы смогли бы сформулировать эту теорему совершенно так же; как. в [2], если бы ввели в -мерном пространстве переменных область в которой правая часть уравнения (2) однозначна, непрерывна и имеет непрерывные производные по аргументам Все эти аргументы вместе с рассматриваются как независимые переменные функции . В следующей главе мы еще вернемся к этой теореме.

Изменяя в начальных условиях постоянные получим семейство решений, зависящее от произвольных постоянных. Эти произвольные постоянные могут входить в решение и не как начальные условия:

Такое решение уравнения (2), содержащее произвольных постоян называется общим интегралом уравнения (2). Оно может быть вписано и в неявной форме:

Придавая определенные численные значения, получим частное решение уравнения (2). Дифференцируя (6) или (7) по раз и подставляя затем и начальные условия (5), получим уравнений. Предполагается, что эти уравнения разрешимы относительно при любых начальных данных из некоторой области изменения . Таким образом, мы получаем решение, удовлетворяющее условиям (5). Определение особого решения то же, что и для уравнения первого порядка. Основой дальнейшего является теорема А.

Укажем кратко распространение метода степенных рядов [8] для равнений порядка. Если правая часть (2) есть ряд, расположенный по целым неотрицательным степеням разностей

и сходящийся при условии, что абсолютные значения этих разностей не превышают некоторого положительного числа, то решение, удовлетворяющее начальным условиям (5), может быть представлено в виде ряда

для всех достаточно близких к . При этом уравнение (2) совместно с условиями (5), как и в случае уравнения первого порядка, определяет коэффициенты этого ряда. Действительно, подставляя в уравнение и начальные значения (5), определяем . Дифференцируя затем уравнение (2) по j и подставляя начальные значения (5) и определяем и т. д. Можно поступать и иначе, а именно подставить в обе части уравнения (2) вместо у степенной ряд

с неопределенными коэффициентами Располагая правую часть по целым неотрицательным степеням сможем постепенно определять упомянутые коэффициенты, приравнивая члены с одинаковыми степенями в обеих частях полученного равенства.