187. Неоднородное волновое уравнение.
Рассмотрим неоднородное волновое уравнение
в безграничном пространстве, и будем искать его решение, удовлетворяющее нулевым начальным условиям
Добавляя к этому решению решение однородного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (75), получим решение уравнения (83), удовлетворяющее условиям (75).
Для решения поставленной выше задачи рассмотрим решение однородного уравнения
удовлетворяющее начальным условиям
причем в качестве начального момента взято не 
, где 
— некоторый параметр. Функция w будет выражаться формулой Пуассона, но только в этой формуле мы должны заменить t на 
, поскольку начальным моментом времени является не 
Мы будем иметь таким образом
где
Отметим, что функция w, кроме обычных независимых переменных 
зависит от параметра 
. Определим теперь функцию и 
формулой
и покажем, что она удовлетворяет неоднородному уравнению (83) и нулёвым начальным условиям (84). Мы имеем
Внеинтегральный член равен нулю в силу первого из условий (86). Дифференцируя еще раз по t, получим
причем полученный внеинтегральный член равен 
в силу второго из условий (86), т. е.
При дифференцировании выражения (89) по координатам достаточно дифференцировать подынтегральную функцию
Из двух последних формул и уравнения (85) непосредственно вытекает, что и удовлетворяет уравнению (83). Начальные условия (84) непосредственно следуют из формул (89) и (90), если принять во внимание, что в формуле (90) внеинтегральный член равен нулю, как было указано выше. Таким образом формула (89) дает решение уравнения (83) при начальных условиях (84). Подставляя в (89) вместо функции 
ее выражение (87), получим
Это выражение для и преобразуем к другому виду. Вместо t введем новую переменную интегрирования: 
. Совершая замену переменных, получим
или, умножая и деля на 
Принимая во внимание формулы (88) для и вспоминая выражение для элемента объема в сферических координатах, мы видим, что входящие в последнюю формулу три квадратуры равносильны тройному интегралу по сфере 
с центром 
и радиусом 
. Вводя переменную точку
и, принимая во внимание, что 
, получим
и выражение для и запишется окончательно в виде
где неравенство 
характеризует упомянутую выше сферу 
Характерным в подынтегральной функции последнего выражения является тот факт, что функция 
берется в момент времени 
предшествующий моменту t, для которого вычисляется 
Разница 
в моментах времени дает то время, которое нужно для перехода из точки 
в точку 
со скоростью а. Выражение (91) называется обычно запаздывающим потенциалом. Отметим еще, что основная формула (89) имеет простой физический смысл, а именно она показывает, что решение неоднородного уравнения (83), удовлетворяющее начальным условиям (84), является суммой импульсов 
происходящих от наличия свободного члена и определяемых уравнениями (85) и (86).
Рассмотрим теперь неоднородное волновое уравнение для цилиндрических волн
при нулевых начальных условиях. Совершенно так же, как и выше, мы можем получить решение задачи в виде
где 
удовлетворяет однородному уравнению
и начальным условиям
Принимая во внимание формулу (80), получим окончательно
Отметим, что в последней формуле мы имеем интегрирование по времени, чего не было в формуле (91), где зависимость от времени сводилась лишь к зависимости от времени радиуса сферы, по которой призводилось интегрирование, и к зависимости от времени функции 
. В линейном случае
