145. Индикатриса Дюпена и формула Эйлера.
Фиксируя координатные оси так, как это было указано в предыдущем номере, построим в касательной плоскости, т. е. в плоскости XOY, вспомогательную кривую следующим образом: на всяком радиусе-векторе из начала О отложим отрезок 
где 
радиус кривизны того нормального сечения, для которого взятый радиус-вектор является касательной. Знак 
выбираем так, чтобы под радикалом оказалась положительная величина.
Рис. 108.
Геометрическое место концов N построенных отрезков дает кривую, которая называется индикатрисой Дюпена. Свойство этой кривой,
согласно построению, следующее: квадрат любого ее радиуса-вектора дает абсолютное значение радиуса кривизны того нормального сечения, для которого взятый радиус-вектор является касательной (рис. 108).
Составим уравнение индикатрисы Дюпена. Пусть 
- координаты переменной точки N на индикатрисе. Согласно построению
т. е.
причем при положительном R надо брать верхний знак, а при отрицательном — нижний. Умножая обе части равенства (57) на 
получим, в силу (57):
Это и есть уравнение индикатрисы Дюпена. Кривая эта дает геометрически наглядное представление об изменении величины радиуса кривизны при вращении нормального сечения вокруг нормали к поверхности. В эллиптическом случае кривая (58) есть эллипс, и в правой части надо брать определенный знак. В гиперболическом случае уравнению (58) соответствуют две сопряженные гиперболы. В параболическом же случае левая часть уравнения (58) есть полный квадрат, и его можно переписать в виде
или
и мы имеем совокупность двух параллельных прямых. Во всех трех случаях точка О является центром кривой, и кривая имеет две оси симметрии. Мы можем выбрать оси ОХ и OY совпадающими с этими осями симметрии; при этом, как известно, в левой части уравнения (58) пропадает член, содержащий произведение 
т. е. при указанном выборе осей должно быть 
и формула (57) даст при таком выборе осей ОХ и 
Выясним геометрический смысл коэффициентов 
Полагая D формуле 
мы получим кривизну нормального сечения, касающегося оси ОХ, и, следовательно, 
Точно так же,
полагая 
получим, 
где 
- кривизна нормального сечения, касающегося оси OY. Подставляя найденные значения 
в формулу (59), получим формулу Эйлера
Заметим, что направления осей ОХ и OY совпадают с направлениями осей симметрии кривой (58). Положим, что 
— и что, например, 
Из формулы (60) непосредственно следует, что достигает наибольшего значения при 
и наменьшего значения — при 
Полученный результат формулируем в виде следующей теоремы: Теорема 3. В каждой точке поверхности существуют два взаимно перпендикулярных направления в касательной плоскости, для которых кривизна 
достигает максимума и минимума, и если 
- соответствующие этим направлениям значения кривизны, то кривизна любого нормального сечения выражается по формуле (60), где 
- угол, образованный касательной к рассматриваемому нормальному сечению с тем направлением, которое дает кривизну 
Радиусы кривизны 
называются главными радиусами кривизны нормальных сечений в рассматриваемой точке. Те два направления в касательной плоскости, которые их дают, называются главными направлениями. Кроме того в гиперболическом случае полезно отметить еще два направления в касательной плоскости, а именно — направления асимптот индикатрисы Дюпена. Для этих асимптотических направлений радиус-вектор индикатрисы равен бесконечности, и кривизна соответствующего нормального сечения в рассматриваемой точке равна нулю.
В эллиптическом случае 
имеют одинаковые знаки. В гиперболическом случае эти величины будут разных знаков. В параболическом же случае кривизна одного из главных нормальных сечений будет равна нулю, и, считая, например, 
мы будем иметь в параболическом случае формулу
и одинаковы, т. е. 
Формула (60) даст при этом 
т. е. в данном случае все нормальные сечения имеют в рассматриваемой точке одинаковую кривизну. Такая точка поверхности называется точкой закругления, или омбилической точкой. Можно доказать, что сфера — единственная поверхность, все точки которой омбилические.
