59. Вычисление двукратного интеграла.
Рассматривая двукратный интеграл как объем, мы сможем вывести способ приведения вычисления двукратного интеграла к двум простым квадратурам. Отнеся плоскость, на которой находится область
к прямоугольной системе координат ХОY, допустим, что элементы Да улучаются путем разбиения площади на прямоугольники со сторонами
и прямыми параллельными координатным осям (рис. 34), и пусть
координаты точки
При этом естественно писать
и
Рис. 34.
С другой стороны, применяя сказанное в [57] относительно выражения объема через повторный интеграл, можем написать
что и дает правило для вычисления двукратного интеграла, независимо от геометрического значения функции
Если первое интегрирование совершается по у, то
при этом Считается постоянным, а пределы
и суть функции от
определяемые по формулам (2) [57]. Аналогичное обстоятельство имеет место, если первое интегрирование совершается по
Пределы при первом интегрировании в повторном интеграле будут определенными постоянными, не зависящими от переменной второго интегрирования, лишь в том случае, когда область интегрирования есть прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям. Если (а) есть прямоугольник, ограниченный прямыми (рис. 35):
то
Выражение
называется элементом площади в прямоугольных координатах.
Заметим, что в формуле (7) первое интегрирование по у при постоянном
соответствует суммированию по прямоугольникам, содержащимся в полосе, параллельной оси ОY, причем все эти прямоугольники имеют одну и ту же ширину
кото рая выносится за знак первого интегрирования. Второе интегрирование по
соответствует сложению всех сумм, полученных при суммировании по полоскам, параллельным оси ОY. В последнем параграфе настоящей главы мы даем точное обоснование формул (8) и (7).
Рис. 35.
Если прямые, параллельные осям, пересекают границу (а) более чем в двух точках, то надо поступать так, как это указано в [57].
Здесь и в дальнейшем мы, конечно, предполагаем, что интегралы, о которых идет речь, существуют. Для этого достаточно, чтобы подынтегральные функции были непрерывны в (а) вплоть до ее границы, что мы и будем предполагать, а область (а) удовлетворяла условию, о котором будет сказано при обосновании понятия интеграла.
Отнесем теперь площадь (а) к полярным координатам
Уравнение поверхности (S) нужно будет тогда написать в виде
.
Элементы Да получим, начертив семейство линий
, т. е. концентрических окружностей и лучей, проходящих через начало координат (рис. 36). В частности, при пересечении двух окружностей радиусов
и лучей, идущих под углами
, образуется криволинейная фигура
, которую, с точностью до бесконечно малых высшего порядка, можно рассматривать как прямоугольник со сторонами
так что
тогда можно написать
Мы получили здесь двукратный интеграл, подынтегральная функция которого есть
. Для его вычисления можно применить
В частности, если
мы получаем выведенное в
выражение для площади кривой в полярных координатах:
(Формула из [I, 102] соответствует случаю
).
Пример. Вычислим объем, заключенный между шаром радиуса а и прямым круговым цилиндром радиуса проходящим через центр шара (рис. 38). За начало координат примем центр шара, плоскость XOY выберем перпендикулярно к оси цилиндра и ось ОХ проведем от центра шара к точке пересечения оси цилиндра с плоскостью XOY.
Рис. 38.
В силу симметрии можем сказать, что искомый объем будет равен учетверенному объему части цилиндра, ограниченной плоскостями ZOX, XOY и верхним полушарием.
Областью интегрирования будет здесь половина основания цилиндра, контур которой состоит из полуокружности
и отрезки оси ОХ, причем угол
меняется от 0 до и соответствующий луч — от оси ОХ к оси ОY
Уравнение поверхности шара
в нашем случае перепишется в виде
Поэтому искомый объем будет