3. Уравнения с отделяющимися переменными.

Наряду с простейшим уравнением (5) рассмотрим уравнение

Перепишем его в виде

и для общего интеграла получим формулу

Положим теперь, что правая часть уравнения (3) есть произведение функции только от на функцию только у:

Это уравнение можно переписать в виде

Пусть некоторое решение уравнения (10) или, что то же, уравнения Последнее равенство есть равенство двух дифференциалов, из которых левый выражается через посредство у (вид дифференциала первого порядка не зависит от выбора переменной . Из равенства дифференциалов следует, что их неопределенные интегралы отличаются лишь произвольным постоянным слагаемым, т. е.

Выполняя квадратуры и решая относительно у, получим общий интеграл уравнения (10). Переход от (10) к называется обычно отделением (разделением) переменных.

В связи с вышесказанным приведем некоторые общие соображения. Всякое дифференциальное уравнение первого порядка, решенное относительно производной, можно записать в виде

Уравнение, записанное в таком виде, не связывает нас выбором неизвестной функции. За таковую мы можем принять как у, так и х. Пусть суть произведения функции только от х на функции только от у, т. е.

Такое уравнение называется уравнением с отделяющимися переменными . Деля обе части на , «отделим переменные»:

и получим общий интеграл уравнения в виде

В дальнейшем мы займемся и общим уравнением (11).

Выше мы не уточнили условий, которые надо наложить на функции и т. д., а также не обсуждали вопроса о преобразованиях, которые мы выполняли — например, деление обоих частей уравнения (10) на h(y). Более подробно это выяснится на примерах.