170. Характер сходимости рядов Фурье.

Ряды, которые мы получили в [156], обладают тем недостатком, что они плохо сходятся. Некоторые из них не будут абсолютно и равномерно сходящимися, например, ряд (10) [156]

при обращается в ряд

не абсолютно сходящийся; ряд (10), кроме того, не может быть и равномерно сходящимся, так как представляет прерывную функцию. Таким же недостатком обладает и ряд, представляющий прерывную функцию, имеющую значении и . Существует зависимость между характером гладкости разлагаемой функции и ее рядом Фурье. Эту зависимость мы исследуем здесь более подробно. Относительно функции мы предположим раз навсегда, что она сама и ее последовательные производные, о которых будет говориться, суть функции, удовлетворяющие условиям Дирихле, и периодически продолжаются вовне промежутка . Обозначим через

точки разрыва функции внутри , через

точки разрыва ее производной внутри и вообще через

точки разрыва производной . К точкам же разрыва нужно будет присоединить и концы промежутка если предельные значения

между собой не совпадают.

Обозначим для симметрии и аналогично для производных. Наше предыдущее условие для производных сводится к тому, что внутри всякого промежутка существует непрерывная производная . В силу условий Дирихле эта производная будет иметь определенные предельные значения и на концах промежутка.

Преобразуем теперь выражения для коэффициентов Фурье функции . Начнем с коэффициента

Разобьем промежуток интегрирования на отдельные части

в каждой из которых функция непрерывна. Интегрируя по частям, мы имеем

Так как, с другой стороны,

то, принимая во внимание непрерывность функции мы получим

Суммируя по от 1 до окончательно будем иметь

причем , и, в силу периодичности . В данном случае но мы сохраняем соответствующее слагаемое для симметрии с дальнейшими формулами.

Обозначим для краткости скачки функции в точках разрыва соответственно через

Предыдущая формула перепишется тогда в виде

где обозначают коэффициенты Фурье производной Точно так же, исходя из формулы

получим

Формулы (42) и (43) важны сами по еебе, так как они показывают, что если периодическая функция f(x) имеет скачки, то ее коэффициенты Фурье при будут порядка и притом главные части коэффициентов будут соответственно равны

остаток же будет порядка выше, чем В самом деле, остаток этот будет вида

величины же как коэффициенты Фурье функции стремятся к О при т. е. будут величинами бесконечно малыми при . Но формулы (42) и (43) важны еще и потому, что, пользуясь ими, мы сможем выделить из коэффициентов Фурье которые стремятся к нулю при составляющие различных порядков малости по сравнению с

Для этой цели обозначим вообще через коэффициенты Фурье производной порядка а через ее скачки в

Применим формулы (42) и (43) к коэффициентам для чего нужно только заменить на , мы получим

где и коэффициенты Фурье

Точно так же, продолжая эти рассуждения,

Положив для краткости

мы из предыдущих формул будем иметь:

где имеют различные выражения в зависимости от вида числа выражения эти приведены в следующей табличке:

Здесь — коэффициенты Фурье функции

Из выражений и видно, что эти величины зависят от , но величина входит лишь под знак тригонометрической функции, а потому при беспредельном возрастании и величины при фиксированном s остаются ограниченными. Коэффициентами при тригонометрических функциях выражениях стоят скачки производной Если этих скачков то . С другой стороны, если производная есть функция, удовлетворяющая условиям Дирихле, то множители и которые с точностью до знака совпадают с одним из коэффициентов Фурье функции будут порядка не ниже — при большом , так как в [165] мы видели, что коэффициенты Фурье функции, удовлетворяющей условиям Дирихле, порядка не ниже Мы получаем таким образом следующую теорему:

Если периодическая непрерывная функция имеет непрерывные производные до порядка включительно, а производная порядка есть функция, удовлетворяющая условиям Дирихле, то

коэффициенты Фурье функции будут порядка не ниже т. е. будут иметь оценку

где некоторое положительное число.

Заметим, что при ряд Фурье функции будет равномерно сходящимся. Действительно, из доказанной теоремы следует, что в этом случае коэффициенты будут удовлетворять неравенству

а общий член ряда будет иметь оценку

откуда и следует абсолютная и равномерная сходимость ряда, так как ряд есть ряд сходящийся

Формулы (57) остаются в силе и для рядов Фурье в случае промежутка Нужно только положить

а выражения для , которые выписаны в табличке, умножить на причем здесь