170. Характер сходимости рядов Фурье.
Ряды, которые мы получили в [156], обладают тем недостатком, что они плохо сходятся. Некоторые из них не будут абсолютно и равномерно сходящимися, например, ряд (10) [156]
при
обращается в ряд
не абсолютно сходящийся; ряд (10), кроме того, не может быть и равномерно сходящимся, так как представляет прерывную функцию. Таким же недостатком обладает и ряд, представляющий прерывную функцию, имеющую значении и
. Существует зависимость между характером гладкости разлагаемой функции и ее рядом Фурье. Эту зависимость мы исследуем здесь более подробно. Относительно функции
мы предположим раз навсегда, что она сама и ее последовательные производные, о которых будет говориться, суть функции, удовлетворяющие условиям Дирихле, и периодически продолжаются вовне промежутка
. Обозначим через
точки разрыва функции
внутри
, через
точки разрыва ее производной
внутри
и вообще через
точки разрыва производной
. К точкам же разрыва нужно будет присоединить и концы промежутка
если предельные значения
между собой не совпадают.
Обозначим для симметрии
и аналогично для производных. Наше предыдущее условие для производных сводится к тому, что внутри всякого промежутка
существует непрерывная производная
. В силу условий Дирихле эта производная будет иметь определенные предельные значения и на концах промежутка.
Преобразуем теперь выражения для коэффициентов Фурье функции
. Начнем с коэффициента
Разобьем промежуток интегрирования
на отдельные части
в каждой из которых функция
непрерывна. Интегрируя по частям, мы имеем
Так как, с другой стороны,
то, принимая во внимание непрерывность функции
мы получим
Суммируя по
от 1 до
окончательно будем иметь
причем
, и, в силу периодичности
. В данном случае
но мы сохраняем соответствующее слагаемое для симметрии с дальнейшими формулами.
Обозначим для краткости скачки функции
в точках разрыва
соответственно через
Предыдущая формула перепишется тогда в виде
где
обозначают коэффициенты Фурье производной
Точно так же, исходя из формулы
Точно так же, продолжая эти рассуждения,
Положив для краткости
мы из предыдущих формул будем иметь:
где
имеют различные выражения в зависимости от вида числа
выражения эти приведены в следующей табличке:
Здесь
— коэффициенты Фурье функции
Из выражений
и видно, что эти величины зависят от
, но величина
входит лишь под знак тригонометрической функции, а потому при беспредельном возрастании и величины
при фиксированном s остаются ограниченными. Коэффициентами при тригонометрических функциях
выражениях
стоят скачки производной
Если этих скачков
то
. С другой стороны, если производная
есть функция, удовлетворяющая условиям Дирихле, то множители и
которые с точностью до знака совпадают с одним из коэффициентов Фурье функции
будут порядка не ниже — при большом
, так как в [165] мы видели, что коэффициенты Фурье функции, удовлетворяющей условиям Дирихле, порядка не ниже Мы получаем таким образом следующую теорему:
Если периодическая непрерывная функция
имеет непрерывные производные до
порядка включительно, а производная
порядка есть функция, удовлетворяющая условиям Дирихле, то