215. Стержень, ограниченный с одного конца.

Пусть это будет конец стержня мы допустим, что на этом конце имеется лучеиспускание в окружающую среду с температурой 0°.

В этом случае мы имеем, кроме начального условия (6), предельное условие

и, с другой стороны, решение (12) непосредственно не годится, так как в силу начального условия подынтегральная функция определена только

в промежутке . Стало быть, для применения формулы (12) надлежит продолжить функцию в промежуток .

Для этой цели перепишем формулу (12) в виде

что можно легко показать, разбив на два: и заменив в первом на Для подстановки в формулу (19) вычисляем

При отсюда выводим

Интегрируя по частям, мы имеем

точно так же

Мы предположим, что продолжена непрерывно в промежуток . Тогда очевидно

и

условие (19) превращается в

которое наверно удовлетворяется, если положить

или, обозначив пока

определить кеизвестную функцию из дифференциального уравнения

Интегрируя это уравнение, получаем

Полагая , определяем постоянную С:

и так как

то

Подставляя это выражение для в формулу (20), мы и получаем окончательное решение нашей задачи. Заметим, что из последней формулы при вытекает , т. е. непрерывное продолжение в промежуток что мы предполагали выше.

Если, например, начальная температура постоянна:

то мы имеем

и формула (20) дает

Читатель без труда покажет, что это решение может быть выражено через функцию

следующим образом:

Более простой результат получается, если на конце отсутствует лучеиспускание, и этот конец поддерживается при температуре 0°. Мы имеем тогда предельное условие

которое можно получить и из (19), разделив на и затем переходя к пределу при . Решение можно найти из формулы (22) при но проще поступать, непосредственно продолжая функцию в промежуток так, чтобы выполнялось условие

для чего достаточно положить

т. е. надо продолжить нечетным образом.

Формула (20) примет тогда вид

и если

она обратится в

Рассмотрим теперь стержень, ограниченный с одного конца х = 0, который поддерживается при заданной температуре .

Допустим сперва, что начальная температура есть 0°, т. е.

и начнем с частного случая , т. е.

Нетрудно получить решение уравнения (S), удовлетворяющее условиям (26) и (27). Для этого мы положим

функция v будет также решением уравнения (S), но должна удовлетворять условиям

так что получится сразу по формуле (25), если положить там

Определим теперь распределение температур, если на конце температура поддерживалась равной 0° до момента , а затем поддерживалась равной 1°. Это распределение мы обозначим через Очевидно, что до момента мы будем иметь после же этого момента их совпадает с решением, полученным выше, если начать отсчитывать t не от , а от , т. е. заменить в выражении (28) t на , что даст нам

Но тогда очевидно, что если на конце температура 1° поддерживалась только в течение промежутка а все остальное время она была 0°, то соответствующее распределение температур будет

если же она поддерживалась в течение промежутка на температуре а не 1°, то получим решение

откуда ясно, что если поддерживать конец на температуре при всех то при изменении от 0 до t мы получим полный эффект, сложив все элементарные эффекты, что дает нам искомое решение задачи в виде

или, так как при .

то окончательно

Для того чтобы получить решение, которое сверх предельного условия

удовлетворяет не (26), а начальному условию общего вида

очевидно, достаточно прибавить к решению (29) полученное выше решение (24).