Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
215. Стержень, ограниченный с одного конца.
Пусть это будет конец
стержня
мы допустим, что на этом конце имеется лучеиспускание в окружающую среду с температурой 0°.
В этом случае мы имеем, кроме начального условия (6), предельное условие
и, с другой стороны, решение (12) непосредственно не годится, так как в силу начального условия подынтегральная функция
определена только
в промежутке
. Стало быть, для применения формулы (12) надлежит продолжить функцию
в промежуток
.
Для этой цели перепишем формулу (12) в виде
что можно легко показать, разбив
на два:
и заменив в первом
на
Для подстановки в формулу (19) вычисляем
При
отсюда выводим
Интегрируя по частям, мы имеем
точно так же
Мы предположим, что
продолжена непрерывно в промежуток
. Тогда очевидно
и
условие (19) превращается в
которое наверно удовлетворяется, если положить
или, обозначив пока
определить кеизвестную функцию
из дифференциального уравнения
Интегрируя это уравнение, получаем
Полагая
, определяем постоянную С:
и так как
то
Подставляя это выражение для
в формулу (20), мы и получаем окончательное решение нашей задачи. Заметим, что из последней формулы при
вытекает
, т. е. непрерывное продолжение
в промежуток
что мы предполагали выше.
Если, например, начальная температура постоянна:
то мы имеем
и формула (20) дает
Читатель без труда покажет, что это решение может быть выражено через функцию
следующим образом:
Более простой результат получается, если на конце
отсутствует лучеиспускание, и этот конец поддерживается при температуре 0°. Мы имеем тогда предельное условие
которое можно получить и из (19), разделив на
и затем переходя к пределу при
. Решение можно найти из формулы (22) при
но проще поступать, непосредственно продолжая функцию
в промежуток
так, чтобы выполнялось условие
для чего достаточно положить
т. е. надо продолжить
нечетным образом.
Формула (20) примет тогда вид
и если
она обратится в
Рассмотрим теперь стержень, ограниченный с одного конца х = 0, который поддерживается при заданной температуре
.
Допустим сперва, что начальная температура есть 0°, т. е.
и начнем с частного случая
, т. е.
Нетрудно получить решение уравнения (S), удовлетворяющее условиям (26) и (27). Для этого мы положим
функция v будет также решением уравнения (S), но должна удовлетворять условиям
так что получится сразу по формуле (25), если положить там
Определим теперь распределение температур, если на конце
температура поддерживалась равной 0° до момента
, а затем поддерживалась равной 1°. Это распределение мы обозначим через
Очевидно, что до момента
мы будем иметь
после же этого момента их совпадает с решением, полученным выше, если начать отсчитывать t не от
, а от
, т. е. заменить в выражении (28) t на
, что даст нам
Но тогда очевидно, что если на конце
температура 1° поддерживалась только в течение промежутка
а все остальное время она была 0°, то соответствующее распределение температур будет
если же она поддерживалась в течение промежутка
на температуре
а не 1°, то получим решение
откуда ясно, что если поддерживать конец
на температуре
при всех
то при изменении
от 0 до t мы получим полный эффект, сложив все элементарные эффекты, что дает нам искомое решение задачи в виде
или, так как при
.
то окончательно
Для того чтобы получить решение, которое сверх предельного условия
удовлетворяет не (26), а начальному условию общего вида
очевидно, достаточно прибавить к решению (29) полученное выше решение (24).