139. Винтовые линии.

Пусть имеется цилиндр с образующими, параллельными оси OZ, и пусть есть его направляющая, лежащая в плоскости ХОY (рис. 105). Введем в рассмотрение длину дуги а кривой отсчитываемую от точки А пересечения этой кривой с осью ОХ в определенном направлении, и положим, что уравнение направляющей будет

Рис. 105.

Откладываем на некоторую дугу AN и строим отрезок параллельный оси OZ, причем k есть определенный численный коэффициент (ход винта). Геометрическое место точек М. дает винтовую линию (L), начерченную на нашем цилиндре. Параметрические уравнения этой линии будут очевидно

Пусть s — длина дуги кривой (L), отсчитываемая от точки А. Имеем

Но равны косинусу и синусу угла, образованного касательной к кривой с осью OX [I, 70], а потому , и предыдущую формулу можно переписать в виде

откуда

Определим теперь косинус угла, образованного касательной к (L) с осью OZ:

это дает первое свойство винтовой линии: касательные к винтовой линии образуют постоянный угол с некоторым неизменным направлением. Обратимся к третьей из формул (28). В данном случае она дает

и, следовательно, главная нормаль винтовой линии перпендикулярна к оси OZ, т. е. к образующей цилиндра. Но она, с другой стороны, перпендикулярна к касательной к винтовой линии. Образующая цилиндра и касательная к винтовой линии определяют, как нетрудно видеть, касательную плоскость к цилиндру во взятой точке на винтовой линии, и из предыдущего вытекает, что главная нормаль винтовой линии перпендикулярна к этой касательной плоскости. Мы получаем таким образом второе свойство винтовой линии: главная нормаль к винтовой линии во всех ее, точках совпадает с нормалью к цилиндру, на котором эта винтовая линия начерчена.

Теперь обратимся к косинусам углов, образованных осью OZ с направлениями подвижного триэдра винтовой линии. Принимая во внимание, что и что постоянные, как мы видели уже, мы можем заключить, что и есть величина постоянная. Третья из формул (282) дает, в нашем случае, , откуда мы видим, что отношение есть величина постоянная; итак, имеем третье свойство винтовои линии: вдоль винтовой линии отношение радиуса кривизны к радиусу кручения есть величина постоянная. Обозначим буквой радиус кривизны плоской кривой Принимая во внимание, что квадрат кривизны равен сумме квадратов вторых производных от координат по длине дуги, мы можем написать

и

откуда

или т. e. радиус кривизны винтовой линии отличается от радиуса кривизны направляющей в соответствующей точке лишь постоянным множителем. Если цилиндр круговой, т. е. направляющая есть окружность, то — постоянно, следовательно, и — постоянно, но тогда, согласно третьему свойству, и тоже есть постоянная величина, т. е. винтовая линия на круговом цилиндре имеет постоянную кривизну и постоянное кручение.

В заключение выясним еще одно важное свойство винтовых линий. Оно заключается в том, что если взять на цилиндре две точки, то кратчайшее

расстояние между этими двумя точками на цилиндре будет даваться винтовой линией, проходящей через эти две точки. В этом отношении винтовые линии на цилиндре совершенно аналогичны прямым линиям на плоскости. Указанное свойство обычно выражают, говоря, что винтовые линии суть геодезические линии цилиндра. Вообще геодезическими линиями на заданной поверхности называют линии, дающие кратчайшее расстояние между двумя точками поверхности.

Если мы развернем цилиндр на плоскость XOZ, поворачивая его вокруг образующей, проходящей через точку А, то, в силу того, что отношение дуги AN к отрезку NM сохраняет постоянное значение винтовая линия на плоскости окажется прямой линией. При указанной развертке цилиндра на плоскость длины сохраняются, и упомянутое выше свойство винтовой линии — давать кратчайшее расстояние на цилиндре — становится очевидным. Заметим, что это свойство стоит в непосредственной связи со вторым свойством винтовой линии, т. е. с тем фактом, что главные нормали винтовой линии совпадают с нормалями к цилиндру. В геометрии вообще доказывают, что главные нормали к геодезической линии на любой поверхности совпадают с нормалями к этой поверхности.