Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
157. Разложение в промежутке (0, п).
В предыдущих примерах мы упрощали вычисления коэффициентов Фурье, пользуясь четностью или нечетностью разлагаемой функции f(x).
Вообще, применяя лемму из [155] к интегралам (9), определяющим коэффициенты Фурье, мы получаем
если
есть функция четная, и
если
функция нечетная. Самое же разложение функции будет вида
если
четная, и
если
нечетная функция.
Пусть теперь нам дана произвольная функция
определенная в промежутке
. Эту функцию можно разложить в промежутке
как в ряд вида (18), содержащий только косинусы, так и в ряд вида (19), содержащий только синусы. При этом в первом случае коэффициенты вычисляются по формулам (16), а во втором — по (17). Оба эти ряда внутри промежутка
будут иметь суммой функцию
В промежутке
сумма ряда, стоящего в правой части, будет совпадать с
т. е. во всем промежутке
она совпадает с абсолютным значением
а затем вне промежутка
сумма ряда дает функцию, которая получается периодическим повторением
из промежутка
(рис. 116).
Рис. 116.
Разлагая функцию
по синусам в промежутке
, мы получаем
и
в промежутке
(рис. 117).
Рис. 117.
Предоставляем читателю доказать, что мы можем переставить члены ряда Фурье так, как мы это сделали выше.
2. Функции
есть четная функция от
а потому она может быть разложена в промежутке
по косинусам:
Мы имеем
Стало быть, в промежутке
Полагая
приходим к следующим двум формулам:
Формулы эти называются формулами разложения
на простейшие дроби. Дифференцируя
по
, разделив на
и изменив знак, получим разложение
или, замечая, что
получим
Иногда вместо чисел Бернулли рассматривают числа Эйлера, определяемые по формулам:
Если мы в равенстве (24) заменим
на то, так как
окажется
Числа Бернулли и Эйлера встречаются часто в самых разнообразных отделах анализа.