157. Разложение в промежутке (0, п).

В предыдущих примерах мы упрощали вычисления коэффициентов Фурье, пользуясь четностью или нечетностью разлагаемой функции f(x).

Вообще, применяя лемму из [155] к интегралам (9), определяющим коэффициенты Фурье, мы получаем

если есть функция четная, и

если функция нечетная. Самое же разложение функции будет вида

если четная, и

если нечетная функция.

Пусть теперь нам дана произвольная функция определенная в промежутке . Эту функцию можно разложить в промежутке как в ряд вида (18), содержащий только косинусы, так и в ряд вида (19), содержащий только синусы. При этом в первом случае коэффициенты вычисляются по формулам (16), а во втором — по (17). Оба эти ряда внутри промежутка будут иметь суммой функцию

или среднее арифметическое в точках разрыва. Но вне промежутка они будут представлять совершенно различные функции: ряд по косинусам даст функцию, получающуюся из f(x) четным продолжением в соседний промежуток , а затем периодическим продолжением с периодом вне промежутка . Ряд по синусам дает функцию, получающуюся нечетным продолжением функции в соседний промежуток и затем периодическим продолжением с периодом вне промежутка .

Рис. 114.

Рис. 115.

Таким образом, при разложении по косинусам

а при разложении по синусам

Соответственно этому в концах промежутков мы получим указанные в таблице значения рядов (18) и (19).

На рис. 114 и 115 указаны графики функций, выражаемых рядами (18) и (19), составленными для одной и той же функции в промежутке .

Примеры. 1. В примерах 1 и 2 [156] мы получили ряды для функции по синусам и для функции по косинусам в промежутке . Разлагая функцию в ряд по косинусам в промежутке , мы получим

Отсюда

В промежутке сумма ряда, стоящего в правой части, будет совпадать с т. е. во всем промежутке она совпадает с абсолютным значением

а затем вне промежутка сумма ряда дает функцию, которая получается периодическим повторением из промежутка (рис. 116).

Рис. 116.

Разлагая функцию по синусам в промежутке , мы получаем

и

в промежутке (рис. 117).

Рис. 117.

Предоставляем читателю доказать, что мы можем переставить члены ряда Фурье так, как мы это сделали выше.

2. Функции есть четная функция от а потому она может быть разложена в промежутке по косинусам:

Мы имеем

Стало быть, в промежутке

Полагая приходим к следующим двум формулам:

Формулы эти называются формулами разложения на простейшие дроби. Дифференцируя по , разделив на и изменив знак, получим разложение

или, замечая, что

получим

Формула приводит к замечательному разложению функции степенной Умножив обе ее части на и заменив на z, т. е. на мы получим

Но

Подставив это в предыдущую формулу и располагая по степеням имеем

Заменив на , получим

Обозначим коэффициент при через

Первые числа нетрудно определить, непосредственно разлагая в ряд хотя бы как частное

и непосредственно ясно, что числа рациональны. Они называются числами Бернулли. С другой стороны, зная их значение, мы можем определить суммы рядов

Иногда вместо чисел Бернулли рассматривают числа Эйлера, определяемые по формулам:

Если мы в равенстве (24) заменим на то, так как

окажется

Числа Бернулли и Эйлера встречаются часто в самых разнообразных отделах анализа.