ГЛАВА I. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§ 1. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

1. Общие понятия.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, которое, кроме независимых переменных и неизвестных функций этих переменных» содержит еще и производные неизвестных функций или их дифференциалы [I, 51]. Если функции, входящие в дифференциальное уравнение, зависят от одной независимой переменной, то уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением Если же в уравнение входят частные производные неизвестных функций по нескольким независимым переменным, то уравнение называют дифференциальным уравнением с частными производными. В настоящей главе мы будем рассматривать лишь обыкновенные дифференциальные уравнения, и большая часть главы будет посвящена тому случаю, когда задано одно уравнение, содержащее одну неизвестную функцию.

Пусть х — независимая переменная и у — искомая функция этой переменной. Общий вид дифференциального уравнения будет

Наивысший порядок производных неизвестной функции, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. В настоящем параграфе мы будем рассматривать одно обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Общий вид такого уравнения будет

или, в решенной относительно у форме,

Пользуясь им обозначением производной, можем записать это уравнение в виде

Если некоторая функция

удовлетворяет дифференциальному уравнению (1) или (2), т. е. если это уравнение обращается в тождество относительно при замене на Функция (4) называется решением этого дифференциального уравнения. Сама задача нахождения решений дифференциального уравнения называется обычно задачей интегрирования дифференциального уравнения.

В простейшем случае, когда правая часть уравнения (2) не содержит у, получается дифференциальное уравнение вида

Нахождение его решений есть основная задача интегрального исчисления [I, 86], и все множество этих решений дается формулой

где С — произвольная постоянная. Таким образом, в этом простейшем случае имеется семейство решений дифференциального уравнения, содержащее произвольную постоянную. Как мы увидим, и в общем случае дифференциального уравнения первого порядка мы будем иметь семейство решений, содержащее произвольную постоянную:

Такое семейство решений называется общим интегралом, уравнения. Общий интеграл может выражаться в неявной форме или в форме, решенной относительно С

Придавая произвольной постоянной С различные численные значения, будем получать различные решения уравнения — так называемые частные решения уравнения.

Укажем геометрическую интерпретацию дифференциального уравнения и его решений. Если рассматривать х и у как координаты точек плоскости, то дифференциальное уравнение (2) определяет в каждой точке (х, у), где определена функция , угловой коэффициент касательной у к некоторой линии. Искомое решение (4) уравнения (2) есть такая кривая (в частном случае — прямая), которая в каждой своей точке имеет угловой коэффициент касательной у, определяемый равенством (2). Такая кривая называется интегральной кривой дифференциального уравнения. Иначе говоря, понятие решения уравнения (2) совпадает с понятием интегральной кривой (в частном случае — прямой) этого уравнения на плоскости Общий интеграл (7) дает бесчисленное множество интегральных кривых или, точнее говоря, семейство кривых, зависящее от одной произвольной постоянной.

Положим, что функция однозначна и непрерывна в неко торой области В плоскости XOY. Пусть линия l, соответствующая решению (7), принадлежит этой области, и функция определена на некотором промежутке изменения . Говоря о решении (4), мы, согласно сказанному выше, считаем, что непрерывна и имеет производную для принадлежащих . Если к промежутку принадлежит его левый коней, то производная есть производная справа, а на правом конце — производная слева. Из уравнения (3) и непрерывности непосредственно следует, что и производная решения непрерывна на

Во всем предыдущем мы считаем, естественно, что все функция однозначны. Из однозначности следует, что прямые, параллельные оси ОY, могут пересекать интегральную кривую не более чем в одной точке. Если мы перепишем уравнение (2), или (3), в виде

т. е. будем считать не у функцией от функцией от прямые, параллельные оси ОХ, могут пересекать интегральные кривые не более чем в одной точке. Пусть интегральная кривая уравнения (2) такова, что не только прямые, параллельные оси ОY, но и прямые, параллельные оси пересекают ее не более чем в одной точке, т. а в уравнении функция имеет однозначную обратную функцию При этом l является и интегральной кривой дифференциального уравнения . В дальнейшем мы будем иметь дело главным образом с уравнением вида (2).