40. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.

Линейное неоднородное уравнение Имеет вид

где — заданная функция. Общий интеграл соответствующего однородного уравнения мы уже умеем составить, и нам остается найти лишь частное решение уравнения (129), которое и надо прибавить к упомянутому общему интегралу однородного уравнения, чтобы получить общий интеграл уравнения (129) [26]. Можно найти упомянутое частное решение, пользуясь символическим способом.

Разложим рациональную дробь на простейшие :

Определим функцию по формуле

которая имеет вполне определенный смысл, так как, согласно формуле (115) из [38], каждое слагаемое правой части имеет определенный смысл

Нетрудно видеть, что формула (130) и дает решение уравнения (129) Действительно,

Но, по определению символа если к правой части (131) применить операцию , то получится Полином ) делится на , где полином, и следовательно, предыдущую формулу можно переписать так:

Но из разложения непосредственно вытекает, что

и следовательно, , т. e. формула (130) дает действительно решение уравнения (129). Мы видим, таким образом, что нахождение решения уравнения (129) при любой заданной функции приводится к разложению рациональной дроби на простейшие и к квадратурам,

В некоторых частных случаях бывает проще отыскивать частное решение уравнения (129) не по общей формуле (130), а способом неопределенных коэффициентов, как это мы указывали в [32],

Заметим, что, пользуясь указанным выше символическим способом, легко получить формулы (71) и (72) из [34].