1.8. Параллельное проектирование.

Рисунки пространственных фигур, иллюстрирующие эту книгу, выполнены в параллельной проекции. Она определяется так.

Пусть даны плоскость а и пересекающая ее прямая а. Возьмем в пространстве произвольную точку X. В том случае, когда точка X не лежит на а, через X проводим прямую а, параллельную прямой а (рис. 1.28).

Прямая а пересекает плоскость а в некоторой точке X. Эта точка называется проекцией (на плоскость а) точки X при проектировании параллельно прямой а или, короче, параллельной проекцией точки X. Если точка X лежит на прямой а, то ее параллельной проекцией X называется точка, в которой а пересекает а. Заметим, что в случае, когда точка X совпадает с точкой X.

Рис. 1.28

Таким образом, если заданы плоскость а и пересекающая ее прямая а, то каждой точке X пространства можно сопоставить единственную точку X — параллельную проекцию точки X на плоскость а (при проектировании параллельно прямой а). Плоскость а называется плоскостью проекций. О прямой а говорят, что она задает направление проектирования, потому что при замене прямой а любой другой параллельной ей прямой результат проектирования не изменится (поскольку две прямые, параллельные третьей, параллельны). Все прямые, параллельные прямой а, задают одно и то же направление проектирования и называются вместе с прямой а проектирующими прямыми.

Проекцией фигуры F называется множество F проекций всех ее точек. Отображение, сопоставляющее каждой точке X фигуры F ее параллельную проекцию , называется параллельным проектированием фигуры F (рис. 1.29).

Рис. 1.29

Параллельную проекцию реальной фигуры представляет, например, ее тень, падающая на плоскую поверхность при солнечном освещении, поскольку солнечные

лучи можно считать параллельными. Так что, глядя на свою тень на земле или на стене, вы видите свою параллельную проекцию.

Основные свойства параллельного проектирования выражает

Теорема (о параллельном проектировании). При параллельном проектировании для прямых, не параллельных направлению проектирования, и для лежащих на них отрезков выполняются следующие свойства:

1. Проекция прямой есть прямая, а проекция отрезка — отрезок.

2. Проекции параллельных прямых параллельны или совпадают.

3. Отношение длин проекций отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению длин самих отрезков. В частности, при параллельном проектировании середина отрезка проектируется в середину его проекции.

С доказательством этой теоремы можно ознакомиться в учебнике [3].