5.2. Тригонометрия трехгранного угла.
Начнем с вывода аналога теоремы косинусов. 1) Сначала рассмотрим такой трехгранный угол 
, у которого хотя бы две грани, например 
, являются острыми углами. Возьмем на его ребре С точку С и проведем из нее в гранях 
перпендикуляры СА и СВ к ребру С до пересечения с ребрами а и b в точках А и В соответственно (рис. 5.2). Выразим расстояние АВ из треугольников ОАВ и САВ по теореме косинусов. Получим
и
Вычитая из второго равенства первое, получим:
Так как треугольники ОСВ и ОСА прямоугольные, то
Поэтому из (1) и (2) следует, что
т. е.
но
поэтому получим:
(3)
— аналог теоремы косинусов для трехгранных углов.
Покажем, что эта формула верна для трехгранных углов с любыми гранями. Возможны еще такие случаи.
2) Обе грани а и (3 — тупые углы. Возьмем тогда луч с, дополняющий луч С до прямой, и рассмотрим трехгранный угол 
дополняющий угол 
до двугранного угла. В нем уже две грани — острые углы, имеющие величины 
третья грань — тот же угол у и тот же противолежащий ей двугранный угол с при ребре 
Поэтому по формуле (3)
т.е. (3) верно и для этого случая.
3) Один из углов 
например а, острый, a другой 
тупой. Возьмем тогда луч а, дополняющий луч а до прямой, и рассмотрим трехгранный угол 
. В нем две грани — острые углы, имеющие величины 
, третья грань имеет величину 
и величина противолежащего ей двугранного угла равна 
. Применяя формулу (3), получаем:
откуда следует (3) для рассматриваемого случая.
4) Хотя бы один из углов а или 
прямой. Тогда равенство (3) можно получить предельным переходом из уже рассмотренных случаев 1)—3).
Итак, формула (3) (будем называть ее формулой косинусов) установлена для любых трехгранных углов. Из нее с помощью обычных формул тригонометрии можно получить другие соотношения между элементами трехгранных углов. Выведем, например, аналог теоремы синусов. Для этого из (3) найдем 
и, подставив его в равенство 
получаем:
Поделив на 
получаем равенство:
Его правая часть симметрична относительно величин 
. Следовательно, если так же вычислить отношения 
, то справа получим то же выражение, что и в (4). Поэтому эти отношения равны, а так как входящие в них синусы все положительные, то получаем следующий аналог теоремы синусов для трехгранного угла:
Отметим еще один частный случай формулы (3): если двугранный угол при ребре С прямой, то 
, и получаем, что
Равенство (6) является аналогом теоремы Пифагора для "прямоугольного" трехгранного угла: его "гипотенуза
— грань у выражается через "катеты" — грани 
.
