5.2. Тригонометрия трехгранного угла.

Начнем с вывода аналога теоремы косинусов. 1) Сначала рассмотрим такой трехгранный угол , у которого хотя бы две грани, например , являются острыми углами. Возьмем на его ребре С точку С и проведем из нее в гранях перпендикуляры СА и СВ к ребру С до пересечения с ребрами а и b в точках А и В соответственно (рис. 5.2). Выразим расстояние АВ из треугольников ОАВ и САВ по теореме косинусов. Получим

и

Вычитая из второго равенства первое, получим:

Так как треугольники ОСВ и ОСА прямоугольные, то

Поэтому из (1) и (2) следует, что

т. е.

но

поэтому получим:

    (3)

— аналог теоремы косинусов для трехгранных углов.

Покажем, что эта формула верна для трехгранных углов с любыми гранями. Возможны еще такие случаи.

2) Обе грани а и (3 — тупые углы. Возьмем тогда луч с, дополняющий луч С до прямой, и рассмотрим трехгранный угол дополняющий угол до двугранного угла. В нем уже две грани — острые углы, имеющие величины третья грань — тот же угол у и тот же противолежащий ей двугранный угол с при ребре Поэтому по формуле (3)

т.е. (3) верно и для этого случая.

3) Один из углов например а, острый, a другой тупой. Возьмем тогда луч а, дополняющий луч а до прямой, и рассмотрим трехгранный угол . В нем две грани — острые углы, имеющие величины , третья грань имеет величину и величина противолежащего ей двугранного угла равна . Применяя формулу (3), получаем:

откуда следует (3) для рассматриваемого случая.

4) Хотя бы один из углов а или прямой. Тогда равенство (3) можно получить предельным переходом из уже рассмотренных случаев 1)—3).

Итак, формула (3) (будем называть ее формулой косинусов) установлена для любых трехгранных углов. Из нее с помощью обычных формул тригонометрии можно получить другие соотношения между элементами трехгранных углов. Выведем, например, аналог теоремы синусов. Для этого из (3) найдем и, подставив его в равенство получаем:

Поделив на получаем равенство:

Его правая часть симметрична относительно величин . Следовательно, если так же вычислить отношения , то справа получим то же выражение, что и в (4). Поэтому эти отношения равны, а так как входящие в них синусы все положительные, то получаем следующий аналог теоремы синусов для трехгранного угла:

Отметим еще один частный случай формулы (3): если двугранный угол при ребре С прямой, то , и получаем, что

Равенство (6) является аналогом теоремы Пифагора для "прямоугольного" трехгранного угла: его "гипотенуза

— грань у выражается через "катеты" — грани .