23.2. Выражение скалярного произведения через координаты.

Выразим скалярное произведение векторов через координаты. Сначала полагаем, что векторы а и b неколлинеарны. Тогда отложим их от некоторой точки О:

рис. 23.1). Получим треугольник ОАВ, угол которого при вершине О равен углу между векторами а и b.

Рис. 23.1

По теореме косинусов

т. е.

Поэтому

Итак, в рассмотренном случае, когда а и b неколлинеарны

Покажем, что (4) справедливо и для коллинеарных векторов а и b.

Если , то . Тогда . Поскольку в этом случае , то

т. е., (4) для сонаправленных векторов а, b справедливо.

Если , то . Поэтому

т. е., (4) справедливо и в этом случае. Если же один из векторов а или b нулевой, то (4), очевидно, выполняется.

Итак, мы доказали, что скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат, т.е. вычисляется по формуле (4).

Из формулы (4) следует условие ортогональности векторов а и b: