5.3. Равенство трехгранных углов.

Естественно назвать два трехгранных угла равными, если равны все их соответственные элементы, т.е. равны их соответственные грани и равны двугранные углы при соответственных ребрах. Признаки равенства трехгранных углов похожи на признаки равенства треугольников. Но есть и отличия: например, два трехгранных угла равны, если соответственно равны их двугранные углы. Вспомните, что два плоских треугольника, у которых соответственные углы равны, подобны. А для трехгранных углов аналогичное условие приводит не к подобию, а к равенству.

Обсудим четыре признака равенства трехгранных углов.

Первый признак: по двум граням и двугранному углу, заключенному между этими гранями. Равенство остальных элементов можно установить так. Сначала из теоремы косинусов установить равенство третьих граней, а затем из теоремы синусов получить равенство двух оставшихся двугранных углов.

Второй признак: по грани и двум прилежащим к ней двугранным углам. Непосредственно из уже полученных равенств (3) и (5) этот признак не вытекает. Но его можно свести к первому признаку, если воспользоваться замечательным свойством трехгранных углов, которое называется двойственностью. Оно состоит в следующем: если в какой-либо теореме о трехгранном угле заменить величины а, b, с на и наоборот, заменить на , то снова получим верное утверждение о трехгранных углах, двойственное исходной теореме. Правда, если такую замену произвести в теореме синусов, то снова придем к теореме синусов (она сама себе двойственна). Но если так сделать в теореме косинусов (3), то получим новую формулу

Из формулы (7) во втором признаке сначала можно установить равенство третьих двугранных углов, а затем по теореме синусов и равенство остальных пар граней.

Рис. 5.3

Рис. 5.4

А почему имеет место двойственность становится ясно, если для трехгранного угла построить двойственный ему трехгранный угол ребра а, b, с которого перпендикулярны граням исходного угла (рис. 5.3). Величина грани а двойственного угла в сумме с величиной двугранного угла а при соответсвующем ребре а исходного трехгранного угла равна (рис. 5.4), т.е. . А так как угол, двойственный к снова будет углом , то и

Записав теорему косинусов (3) для угла и получим (7).

Третий признак: по трем граням. Сначала из теоремы косинусов (3) вытекает равенство одной пары двугранных углов, а затем по теореме синусов — и равенство остальных двух пар двугранных углов.

Четвертый признак: по трем двугранным углам. Он сводится к третьему применением двойственности.

Обдумайте, справедливы ли для трехгранных углов другие теоремы, аналогичные теоремам о свойствах треугольников. Например, справедливы ли аналоги теорем о замечательных точках треугольников или теорем о равнобедренном треугольнике.