26.2. Общие свойства движений.

Движения сохраняют расстояния и потому сохраняют все геометрические свойства фигур, поскольку они определяются расстояниями. В этом пункте мы получим наиболее общие свойства движений, приводя доказательства в тех случаях, когда они не очевидны.

Свойство 1. Три точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в три точки, лежащие на одной прямой, а три точки, не лежащие на одной прямой, — в три точки, не лежащие на одной прямой.

Пусть движение переводит соответственно точки в точки Тогда выполняются равенства

Если точки А, В, С лежат на одной прямой, то одна из них, например, точка В лежит между двумя другими. В этом случае и из равенств (1) следует, что . А это равенство означает, что точка В лежит между точками А и С. Первое утверждение доказано. Второе вытекает из первого и обратимости движения (способом от противного).

Свойство 2. Отрезок движением переводится в отрезок.

Пусть концам отрезка АВ движение f сопоставляет точки А и В. Возьмем любую точку X отрезка АВ. Тогда, как и в доказательстве свойства 1, можно установить, что ее образ — точка лежит на отрезке АВ между точками А и В. Далее, каждая точка

Y отрезка А В является образом некоторой точки Y отрезка АВ. А именно, той точки Y, которая удалена от точки А на расстояние A Y. Следовательно, отрезок АВ движением переводится в отрезок АВ.

Свойство 3. При движении луч переходит в луч, прямая — в прямую.

Эти утверждения докажите самостоятельно. Свойство 4. Треугольник движением переводится в треугольник, полуплоскость — в полуплоскость, плоскость — в плоскость, параллельные плоскости — в параллельные плоскости.

Треугольник ABC заполняется отрезками, соединяющими вершину А с точками X противоположной стороны ВС (рис. 26.1). Движение сопоставит отрезку ВС некоторый отрезок В С и точке А — точку А, не лежащую на прямой ВС. Каждому отрезку АХ это движение сопоставит отрезок АХ, где точка X лежит на ВС. Все эти отрезки АХ заполнят треугольник АВС.

Рис. 26.1

Рис. 26.2

Рис. 26.3

В него и переходит треугольник

Полуплоскость можно представить как объединение неограниченно расширяющихся треугольников, у которых одна сторона лежит на границе полуплоскости

(рис. 26.2). Поэтому полуплоскость перейдет при движении в полуплоскость.

Аналогично, плоскость можно представить как объединение неограниченно расширяющихся треугольников (рис. 26.3). Поэтому при движении плоскость отображается на плоскость.

Поскольку движение сохраняет расстояния, то при движении расстояния между фигурами не изменяются. Отсюда следует, в частности, что при движениях параллельные плоскости перейдут в параллельные.

Свойство 5. При движении образом тетраэдра является тетраэдр, образом полупространства — полупространство, образом пространства — все пространство.

Тетраэдр ABCD представляет собой объединение отрезков, соединяющих точку D со всевозможными точками X треугольника ABC (рис. 26.4). При движении отрезки отображаются на отрезки, а потому тетраэдр перейдет в тетраэдр.

Рис. 26.4

Полупространство можно представить как объединение расширяющихся тетраэдров, у которых основания лежат в граничной плоскости полупространства. Поэтому при движении образом полупространства будет полупространство.

Пространство можно представить как объединение неограниченно расширяющихся тетраэдров. Поэтому при движении пространство отображается на все пространство.

Свойство 6. При движении углы сохраняются, т. е. всякий угол отображается на угол того же вида и той же величины. Аналогичное верно и для двугранных углов.

При движении полуплоскость отображается на полуплоскость. Так как выпуклый угол есть пересечение двух полуплоскостей, а невыпуклый угол и двугранный угол есть объединение полуплоскостей, то при движении выпуклый угол переходит в выпуклый угол, а невыпуклый

угол и двугранный угол соответственно — в невыпуклый и двугранный угол.

Пусть лучи а и b, исходящие из точки О, отобразились на лучи а и b, исходящие из точки О. Возьмем треугольник ОАВ с вершинами А на луче а и В на луче b (рис. 26.5). Он отобразится на равный треугольник ОАВ с вершинами А на луче а и В на луче b. Значит, углы между лучами а, b и а, b равны. Поэтому при движении величины углов сохраняются.

Рис. 26.5

Следовательно, сохраняется перпендикулярность прямых, а значит — прямой и плоскости. Вспомнив определения угла между прямой и плоскостью и величины двугранного угла, получим, что величины этих углов сохраняются.

Свойство 7. Движения сохраняют площади поверхностей и объемы тел.

Действительно, поскольку движение сохраняет перпендикулярность, то движение высоты (треугольников, тетраэдров, призм и т. п.) переводит в высоты (образы этих треугольников, тетраэдров, призм и т. п.). При этом длины этих высот будут сохраняться. Поэтому площади треугольников и объемы тетраэдров при движениях сохраняются. А значит, сохранятся и площади многоугольников, и объемы многогранников. Площади же криволинейных поверхностей и объемы тел, ограниченных такими поверхностями, получаются предельными переходами от площадей многогранных поверхностей и объемов многогранных тел. Поэтому и они при движениях сохраняются.