ГЛАВА 1. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

В основе "строительной геометрии" лежат теоремы о взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве, об их параллельности и перпендикулярности. Этому и посвящена глава 1.

§ 1. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

1.1. Плоскости в пространстве.

Начать “строительную геометрию" естественно с предложений о задании положения плоскости в пространстве. Здесь мы сформулируем три таких предложения.

Начнем с вопроса о том, сколько точек в плоскости надо задать, чтобы этими точками ее положение определилось бы однозначно. Ясно, что одной или двух точек для этого мало. Но уже заданием трех точек, не лежащих на одной прямой, положение плоскости определится однозначно (рис. 1.1). Реальный пример: две петли и замок фиксируют положение двери, а две петли — нет. Итак, справедливо такое предложение:

Предложение 1. Через любые три точки пространства, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.

Плоскость, проходящую через три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, называют "плоскость ABC " и пишут (ABC).

Кроме этого (основного) способа задания плоскости мы будем использовать и другие.

Предложение 2. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна (рис. 1.2).

Реальный пример: приоткрыв обложку книги, вы фиксируете ее положение в пространстве.

(см. скан)

Рис. 1.6

Предложение 3. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна (рис. 1.3).

Реальный пример: фанера, прибитая к пересекающимся рейкам.

Рис. 1.7

Рис. 1.8

Для двух плоскостей в пространстве есть лишь две возможности их взаимного расположения.

1) Две плоскости не имеют общих точек (рис. 1.4). Такие плоскости называются параллельными. Параллельные плоскости а и Р обозначаются так:

2) Две плоскости имеют общую точку. Тогда эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (рис. 1.5). Плоскости, имеющие общую точку тем самым, и общую прямую) называются пересекающимися.

Попробуйте сами перечислить и нарисовать все случаи взаимного расположения трех плоскостей в пространстве.

Отметим еще, что каждая плоскость разбивает пространство на два полупространства (рис. 1.6 а), подобно тому, как в планиметрии каждая прямая разбивает плоскость на две полуплоскости (рис. 1.66).