2.7. Теорема о прямой, перпендикулярной плоскости.

Теорема 5 о параллели к перпендикуляру позволяет доказать следующую основную теорему о прямой, перпендикулярной плоскости.

Теорема 6. Через каждую точку проходит прямая, перпендикулярная данной плоскости, и притом только одна.

Рис. 2.26

Пусть даны точка А и плоскость а (рис. 2.26). Проведем через какую-либо точку этой плоскости перпендикулярную ей прямую а (задача 3 п. 2.5). Если прямая а проходит через точку А, то она искомая прямая. Если это не так, то проведем через точку А прямую b, параллельную прямой а. По теореме 5 о параллели к перпендикуляру Итак, мы построили прямую, проходящую через точку А и перпендикулярную плоскости а. Единственность такой прямой установлена в п. 2.1.

Рис. 2.27

Согласно доказанной теореме 6 все пространство покрыто параллельными друг другу прямыми (рис. 2.27а). Точно так же пространство (согласно теореме 3 п. 2.5) заполняется плоскостями, перпендикулярными заданной прямой (рис. 2.27б). Эти плоскости параллельны друг другу.