3.7. Параллельность и углы.

Следует рассмотреть три возможности: 1) две параллельные прямые и плоскость (рис. 3.32); 2) две параллельные плоскости и прямая (рис. 3.33); 3) две параллельные плоскости и пересекающая их третья плоскость (рис. 3.34). Им соответствуют следующие предложения.

Рис. 3.34

Предложение 9.

Две параллельные прямые образуют с данной плоскостью равные углы.

Действительно, пусть прямые а и b параллельны и а — некоторая плоскость. Рассмотрим случай, когда прямые а и b не параллельны и не перпендикулярны плоскости а (рис. 3.35). Спроектируем

прямые а и b на плоскость а в прямые а и b. Так как то или . В обоих случаях Но этими углами и измеряются углы между прямыми а и b и плоскостью а. Поэтому для рассматриваемого случая предложение 9 доказано. В случае параллельности одной из прямых плоскости а углы между прямыми а и b и плоскостью а равны 0°, а для случая перпендикулярности — эти углы равны 90°.

Предложение 10. Углы, которые образует прямая с каждой из двух параллельных плоскостей, равны.

Действительно, пусть плоскости параллельны и а — некоторая прямая. Если а перпендикулярна одной из плоскостей а или Р, то а перпендикулярна и второй из них, и в этом случае углы между прямой а и плоскостями равны 90°. В случае параллельности прямой а одной из плоскостей а или Р углы между прямой а и этими плоскостями будут равны 0°. Осталось рассмотреть общий случай, когда прямая а пересекает плоскости и не перпендикулярна к ним. Тогда через любую точку прямой а проведем прямую b, перпендикулярную плоскостям а и , и через прямые а и b проведем плоскость у (рис. 3.36). Плоскость у пересечет плоскости по параллельным прямым а

Рис. 3.35

Рис. 3.36

Рис. 3.37

которые являются проекциями прямой а на плоскости а и . Так как (как соответственные углы при параллельных прямых а и а" и секущей а), а этими углами измеряются углы между прямой а и плоскостями , то предложение 10 доказано.

Предложение 11.

Если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то углы, которые она образует с этими плоскостями, равны.

Действительно, пусть параллельные плоскости пересекает плоскость у по параллельным прямым а и b (рис. 3.37). Любая плоскость, перпендикулярная прямым а и b, пересекает плоскости по параллельным прямым С и d, а плоскость у по некоторой прямой — секущей для этих прямых Поскольку а этими углами и измеряются углы между плоскостями и плоскостью у , то предложение 11 доказано.