2.3. Теорема о трех перпендикулярах.

Вы уже давно знаете из планиметрии, что перпендикуляр, опущенный из точки на прямую, является кратчайшим из всех отрезков, соединяющих данную точку с точками данной прямой. Теперь аналогичное свойство вы знаете и для перпендикуляра, опущенного на плоскость. Эти два экстремальных

Рис. 2.11

Рис. 2.12

свойства объединяет следующая важная теорема.

Теорема 1 (о трех перпендикулярах). Наклонная к плоскости перпендикулярна к прямой, лежащей в этой плоскости, тогда и только тогда, когда проекция наклонной перпендикулярна этой прямой.

Пусть даны наклонная АС к плоскости а, ее проекция ВС и прямая а, лежащая в плоскости а и проходящая через точку С (рис. 2.11).

В теореме два утверждения: 1) если , то обратно, если то . Докажем их.

Возьмем переменную точку X прямой а (рис. 2.12).

Рассмотрим две функции: Так как АВ то треугольник АВХ — прямоугольный. Поэтому Значит функции отличаются на постоянное слагаемое Поэтому функции свои наименьшие значения принимают одновременно — в одной и той же точке. Из этого и следуют оба утверждения теоремы.

1) Пусть . Тогда перпендикуляр АС к прямой а короче любой наклонной АХ к этой прямой. Значит и отрезок ВС короче любого отрезка ВХ, когда . Поэтому . Первое утверждение теоремы доказано. Докажем второе.

2) Пусть . Тогда перпендикуляр ВС к прямой а короче любой наклонной ВХ к этой прямой. Поэтому если . Следовательно,

В доказанной теореме рассматриваются три перпендикуляра: Отсюда и ее название — теорема о трех перпендикулярах. Согласно этой теореме, проекцию точки А на прямую а — точку С — можно получить и так: сначала спроектировать точку А на плоскость а в точку В, а затем спроектировать точку В на прямую а. В результате получим ту же самую точку С.

Рис. 2.13

Замечание. Можно получить интересное обобщение теоремы о трех перпендикулярах. Заменим в этой теореме прямую а на произвольную фигуру F в плоскости а (рис. 2.13). Пусть X — переменная точка фигуры F. Из равенства делаем тот же вывод о наименьших расстояниях они становятся наименьшими одновременно. Получаем такое обобщение:

Теорема (о ближайшей точке). Пусть фигура F лежит в плоскости а, А — некоторая точка и В — ее проекция на . Точка фигуры F будет ближайшей к точке А тогда и только тогда, когда она является ближайшей к ее проекции В.

Теорема о трех перпендикулярах оказалась, как мы видим, только частным случаем теоремы о ближайшей точке, относящейся к любой плоской фигуре. При этом доказательство ее ничуть не сложнее. Это примечательно! Один из моментов в развитии математики состоит в том, что результаты, которые прежде относились к более специальным фигурам, уравнениям, функциям или иным объектам математики, обобщаются позже на гораздо более общие объекты. Теорема о трех перпендикулярах восходит к древним грекам (но доказывали они ее по-другому), а теорема о ближайшей точке принадлежит геометрии XX века.