§ 24. ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД
Теперь, когда в §§ 21—23 мы познакомились с основами векторной алгебры, применим ее к решению геометрических задач. Аппарат векторов позволяет кратко записывать формулировки задач, теорем и их решения, доказательства. Например, условие теоремы о средней линии треугольника записывается так:
(рис. 24.1), а ее доказательство занимает всего одну строку:
24.1. Векторное задание прямых и плоскостей.
Возьмем какую-нибудь прямую I в пространстве. Ее положение вполне определяется заданием одной из точек А
этой прямой и некоторого ненулевого вектора
, коллинеарного прямой I (рис. 24.2). Вектор
называется направляющим вектором прямой
Рис. 24.1
Рис. 24.2
Выберем в пространстве любую точку О. Тогда радиус-вектор ОХ любой точки X прямой I равен такой сумме:
Так как
то по теореме о коллинеарных векторах (п. 22.3)
где t — некоторое действительное число. Введя обозначение
из (1) и (2) получим
Это равенство и задает прямую
когда параметр t пробегает все множество действительных чисел, точка X пробегает всю прямую. Точке А соответствует
Если же t изменяется на отрезке
точка t пробегает отрезок прямой I с концами в точках
соответствующих значениям и
параметра
Теперь рассмотрим случай плоскости. Зададим некоторую плоскость а любой ее точкой
и парой лежащих в а неколлинеарных векторов тип (рис. 24.3); векторы тип называются направляющими векторами плоскости а. Они образуют базис в плоскости а. Любой вектор АХ, где X — произвольная
Рис. 24.3
точка плоскости а, можно разложить по векторам тип:
Поскольку
, то подставляя в это равенство выражение (4) и полагая, как и раньше
окончательно получаем
Это уравнение задает плоскость а в пространстве: положение любой точки X плоскости а определится заданием упорядоченной пары действительных чисел
причем каждой такой паре соответствует некоторая точка плоскости а в системе координат с началом в точке А и базисными векторами
. Точке А соответствует пара