ГЛАВА 4. ОБЪЕМЫ ТЕЛ И ПЛОЩАДИ ИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Если первые три главы мы назвали "строительной геометрией", то главу 4 можно было бы назвать "измерительной геометрией". В этой главе мы измерим объемы тех тел, которые были рассмотрены в главе 2, а также вычислим площади их поверхностей.

Вообще, вопрос об объемах тел трудный, и он не может быть изложен в школьном курсе вполне строго. То же относится и к площади поверхности. Все эти вопросы принадлежат, по существу, к трудным разделам современной математики. Поэтому, излагая их, мы часто будем прибегать к соображениям наглядности.

§ 13. ПОНЯТИЕ ОБЪЕМА

13.1. Простые тела.

Два основных свойства объемов известны всем: во-первых, объемы равных тел равны и, во-вторых, при "сложении" тел их объемы складываются. Однако любые мыслимые в геометрии тела могут быть настолько сложно устроены, что приписать им всем объем с указанными свойствами нельзя. Поэтому приходится выделить класс тел (мы называем их простыми), для которых это возможно.

Тело будем называть простым, если каждая прямая, имеющая с телом общие точки, пересекает его поверхность по конечному числу отрезков и отдельных точек.

Каждое реальное тело можно считать простым, пересечение поверхности тела с прямой по бесконечному числу отдельных точек и отрезков мыслимо лишь для идеального тела. Очевидно, что простыми телами являются все многогранники и все выпуклые тела. Мы будем вычислять объемы лишь для простых тел, а потому, говоря "тело", мы будем подразумевать, что оно является простым телом.