7.5. Симметрия правильных призм. Поворот вокруг прямой.
Напомним, что правильной называется прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник. Симметричность правильных призм определяется симметричностью их оснований (рис. 7.13), а так же перпендикулярностью основаниям боковых ребер и граней.
У правильной П-угольной призмы имеется П плоскостей симметрии, проходящих через соответствующие оси симметрии оснований призмы (рис. 7.14). Кроме того, у нее имеется еще одна плоскость симметрии, которая проходит через середины боковых ребер (рис. 7.15).
Рис. 7.14
Осями симметрии правильной 
-угольной призмы всегда являются 
осей симметрии сечения этой призмы, проходящего через середины боковых ребер (рис. 7.16). Если к тому же 
четно, то осью симметрии является еще прямая, которая соединяет центры оснований (рис. 7.17). Если же 
нечетно, то это не так и других осей симметрии нет.
Отрезок, соединяющий центры оснований правильной призмы, называется ее осью (рис. 7.17).
Если П четно, то середина оси правильной 
-угольной призмы является центром симметрии этой призмы (рис. 7.18). Если же 
нечетно, то центра симметрии у правильной призмы нет (как и у ее основания).
Итак, симметричность правильной 
-угольной призмы определяется симметричностью ее основания — правильного П-угольника. Но, как известно из планиметрии, правильные П-угольники имеют еще один вид симметрии — вращательную, т. е. они самосовмещаются при повороте вокруг своего центра на угол 
(рис. 7.19), а также на любой угол, кратный 
. Аналогично, правильные 
-угольные призмы самосовмещаются при повороте вокруг своей оси на такой же угол 
(рис. 7.20).
Подробнее это означает следующее. Плоскости, перпендикулярные оси правильной 
-угольной призмы Р, параллельны ее основанию. Поэтому все сечения призмы Р такими плоскостями равны ее основанию и проектируются на него. Центры этих правильных 
-угольников лежат на оси призмы. Поэтому, если эти многоугольники одновременно повернуть в их плоскостях в одном направлении на угол 
вокруг их центров, то все они самосовместятся. А потому при таком преобразовании и призма Р самосовместится. Такое преобразование призмы называется поворотом вокруг прямой — оси призмы — на угол 
Тем самым призма среди симметрий имеет и поворотную симметрию.
Заметим еще, что осевая симметрия в пространстве является поворотом на 180° вокруг оси симметрии. Действительно, в результате поворота на 180° вокруг
прямой а точка X, не лежащая на прямой а, перейдет в такую точку X, что прямая а перпендикулярна отрезку 
и пересекает его в середине.
