§ 17. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ

17.1. Площади многогранных и развертывающихся

поверхностей. Площадь поверхности многогранника, естественно, равна сумме площадей его граней. Для боковых поверхностей цилиндров и конусов интуитивно ясно, что их можно развернуть на плоскость и затем подсчитать площадь полученной плоской области. При этом боковая поверхность прямого цилиндра перейдет в прямоугольник (рис. 17.1), длина одной стороны которого равна длине границы основания цилиндра, а длина другой его стороны равна высоте прямого цилиндра, или, что то же самое, равна длине его образующей. Например, если цилиндр был цилиндром вращения радиуса R и высоты Н, то разверткой его боковой поверхности будет прямоугольник со сторонами и Н, а потому площадь такого прямоугольника равна . Итак, площадь боковой поверхности цилиндра вращения радиуса R и высоты Н равна . Добавив к этой площади площади оснований цилиндра, получим для площади поверхности цилиндра формулу:

Рис. 17.1

Рис. 17.2

Рис. 17.2

В результате развертки боковой поверхности конуса в общем случае получим некоторую область Q, похожую на сектор (рис. 17.2 а).

Такая область Q отсечена от некоторого плоского угла кривой линией у. Например, если развернуть боковую поверхность пирамиды, то кривой линией у будет ломаная (рис. 17.2 б). В том случае, когда конус был конусом вращения с радиусом основания R и образующей L, кривая у будет дугой окружности, радиус которой равен L, а длина этой дуги равна (рис. 17.2 в). Подсчитаем площадь этого сектора

Площадь круга D радиуса L равна а длина его окружности равна Площадь сектора Q составляет от площади D такую же часть, какую составляет длина дуги у от длины всей окружности. Поэтому имеем:

Итак, площадь боковой поверхности конуса вращения с образующей L и радиусом R выражается формулой

Добавив к площадь основания конуса вращения, получим для площади его поверхности формулу:

Площадь боковой поверхности усеченного конуса вращения с радиусами оснований R и r и длиной образующей d (рис. 17.3) легко найти вычитанием площадей боковых поверхностей конусов вращения, из которых

Рис. 17.3

Рис. 17.4

получен рассматриваемый усеченный конус. Их основания имеют радиусы R и , а их образующие обозначим L и . Тогда и

Так как (см. рис. 17.4) , то

Подставляя это в равенство (3), получаем формулу для боковой поверхности усеченного конуса вращения: