15.2. Выражение объема через площади сечений.

Теорема. Пусть тело Т лежит между параллельными опорными плоскостями — плоскость, лежащая между ними и удаленная от а на расстояние X (рис. 15.2). Пусть сечение тела Т плоскостью имеет площадь и функция непрерывна. Тогда объем тела Т выражается равенством

Рис. 15.3

Рис. 15.4

где Н — расстояние между .

Обозначим через объем части тела Т, лежащей между плоскостями а и где Очевидно, Кроме того, положим Покажем, что имеет своей производной Фиксируем некоторое значение X из интервала выберем и рассмотрим слой тела Т между плоскостями Если достаточно мало, то слой можно рассматривать приближенно как прямой цилиндр с высотой Это означает следующее. Для выбранного можно построить прямые цилиндры с основаниями в плоскостях такие, что цилиндр содержится в , цилиндр содержит (рис. 15.4) и площади их оснований стремятся к когда , т.е.

(Последнее утверждение, верное в общем случае, можно проверить для каждого из конкретных тел, которые будут рассмотрены далее.)

Объемы прямых цилиндров выражаются равенствами

Объем слоя обозначим через . Так как цилиндр содержится в слое , а цилиндр содержит слой , то

Разделим все выражения в (4) на и, использовав (3), получим:

Переходя к пределу в (5) при и учитывая (2), получим, что существует

т. е.; производная функция равна

Следовательно, функция является первообразной функции При этом Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница, доказанной в курсе алгебры и начал анализа, имеем:

что и требовалось доказать.