§ 6. ЦИЛИНДР

6.1. Определение и общие свойства цилиндра.

Слово цилиндр часто встречается в технике. Цилиндры обычно представляют себе круглыми, т.е. с круглым основанием (рис. 6.1а). В общем же случае их можно определить так.

Пусть даны две параллельные плоскости и на плоскости а задана некоторая фигура F. Из всех точек фигуры F проведем параллельные друг другу отрезки

Рис. 6.1

до плоскости а. Фигура, которую образуют эти отрезки, и называется цилиндром (рис. 6.1б). Фигура F, из точек которой проведены отрезки, называется основанием цилиндра. Отрезки, образующие цилиндр, так и называются его образующими.

Укажем простейшие свойства цилиндра.

Свойство 1. Все образующие цилиндра равны друг другу.

Это свойство вытекает из следующей простой леммы, полезной и в других ситуациях.

Лемма. Параллельные отрезки, концы которых лежат на параллельных плоскостях, равны.

Действительно, пусть концы X и Y параллельных отрезков XX и YY лежат в плоскости а, а их вторые концы — X и Y — лежат в плоскости а, параллельной плоскости а (рис. 6.2). Проведем плоскость (3 через параллельные прямые XX и .

Рис. 6.2

Плоскость пересечет параллельные плоскости а и а по параллельным прямым XY и XY. Так как , то четырехугольник — параллелограмм, и потому

Рис. 6.3

Концы образующих рассматриваемого цилиндра на плоскости а, параллельной плоскости а, образуют некоторую фигуру F. Можно считать, что образующие выходят из нее. Поэтому и фигура F может считаться основанием цилиндра. Если, как обычно принято, представлять плоскости оснований горизонтальными, то одно основание называется нижним, а другое — верхним.

Свойство 2. Основания цилиндра равны друг другу.

Действительно, пусть F и F — основания данного цилиндра. Каждой точке соответствует точка X

— конец образующей, идущей из точки X. Если точкам X, Y основания F соответствуют точки X, Y основания F, то отрезки и равны и параллельны (рис. 6.3а). Стало быть, четырехугольник

— параллелограмм. Поэтому отрезки XY и XY также равны и параллельны. Равенство отрезков XY и XY (для произвольно выбранных точек X, Y) и означает равенство фигур

Свойство 3. Все сечения цилиндра плоскостями, параллельными плоскостям основания цилиндра, равны основанию цилиндра.

Действительно, любое такое сечение является общим основанием двух цилиндров, на которые секущая плоскость разбивает данный цилиндр (рис. 6.3б). Поэтому оно равно другим основаниям этих цилиндров, которые являются основаниями исходного цилиндра.

Рис. 6.4

Замечание. Можно сказать, что цилиндр получается при параллельном переносе основания вдоль образующих. Он получается также параллельным переносом образующей по основанию. Переносим ли мы параллельно образующие по основанию или основание по образующим — получим один и тот же цилиндр.

Перпендикуляр, опущенный из любой точки плоскости одного основания цилиндра на плоскость другого его основания, называется высотой цилиндра (рис. 6.4). Длину такого перпендикуляра также называют высотой цилиндра. Так как плоскости оснований параллельны, то перпендикуляры у них общие и все они равны. Поэтому высоту можно проводить из любой точки плоскости основания.

Для того, чтобы задать цилиндр, достаточно задать его основание и одну образующую. Соответственно, цилиндры различаются по виду оснований и наклону образующих.

Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскости основания (рис. 6.5). Для этого достаточно, чтобы какая-то образующая была перпендикулярна плоскости основания, так как остальные образующие параллельны ей и тоже будут перпендикулярны к плоскости основания.

Рис. 6.5

Замечание. Цилиндрами называются также фигуры, образуемые не только отрезками, но и параллельными прямыми. Мы такие цилиндры не рассматриваем.