Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
11.4. Выпуклые многогранники и выпуклые оболочки.Идея понятия выпуклой оболочки состоит в том, что выпуклая оболочка некоторого множества F является
Рис. 11.18
Рис. 11.19
Рис. 11.20 в некотором смысле наименьшим выпуклым множеством, содержащим F (рис. 11.18). А точное определение его таково. Выпуклой оболочкой множества F называется пересечение всех выпуклых множеств, содержащих F (рис. 11.19). Оно обозначается Поскольку пересечение выпуклых множеств есть выпуклое множество, то выпуклая оболочка множества является выпуклым множеством. Выпуклая оболочка выпуклой фигуры есть, очевидно, сама эта фигура. Нас будут интересовать выпуклые оболочки конечного числа точек. Очевидно, выпуклой оболочкой одной точки является сама эта точка. Выпуклой оболочкой двух точек Ясно, что выпуклой оболочкой любой системы S конечного числа точек
Рис. 11.21 Рассмотрим систему. S, состоящую из трех точек Добавим к трем точкам Возможны такие случаи. 1) Точка 2) Точка
Рис. 11.22
Рис. 11.23
Рис. 11.24
3) Точка Проведенные построения подсказывают, как построить выпуклую оболочку F системы S, состоящей из Выделим это утверждение как лемму и докажем ее. Лемма (о выпуклой оболочке конечного числа точек). Выпуклая оболочка F системы точек
Рис. 11.25
Рис. 11.26 Обозначим через Н фигуру, заполненную отрезками, которые соединяют точку Итак, Н — выпуклая фигура, содержащая точки С другой стороны, Н состоит из отрезков, каждый из которых, очевидно, содержится в F. Поэтому Н содержится в F. Следовательно, Н и F совпадают. Доказанная лемма позволяет сделать вывод, что выпуклой оболочкой конечной системы точек
Рис. 11.27
Рис. 11.28 лежат разве лишь в точках Действительно, такой многоугольник является объединением конечного числа треугольников, имеющих общую вершину Если же точки В завершение этого пункта докажем теорему, обратную, в известном смысле, предложениям, установленным выше. Теорема (о задании выпуклого многогранника своими вершинами). Выпуклый многогранник (а также и выпуклый многоугольник) есть выпуклая оболочка своих вершин и, следовательно, полностью определяется своими вершинами. Из определения выпуклой оболочки следует, что выпуклая оболочка вершин выпуклого многогранника содержится в этом многограннике. Поэтому достаточно доказать, что, обратно, выпуклый многогранник содержится в выпуклой оболочке своих вершин.
Рис. 11.29
Рис. 11.30 Пусть А — какая-либо точка выпуклого многогранника Р. Если она лежит на его ребре, то она, очевидно, принадлежит выпуклой оболочке вершин этого ребра. Если точка А лежит внутри грани Q, то проведем через нее отрезок до пересечения с границей грани Q. Тогда концы этого отрезка лежат на ребрах и, следовательно, принадлежат выпуклой оболочке вершин. Но в таком случае и сам отрезок, а вместе с ним и точка А принадлежат этой выпуклой оболочке. Наконец, если точка А лежит внутри многогранника Р, то проводим через нее отрезок до пересечения его с границей многогранника. Тогда, по доказанному, концы этого отрезка принадлежат выпуклой оболочке вершин и, значит, сам отрезок, а вместе с ним и точка принадлежат этой выпуклой оболочке. Замечание. Доказывая эту теорему для многогранника, мы попутно доказали ее утверждение и для многоугольника.
|
1 |
Оглавление
|