27.4. Движения второго рода, не имеющие неподвижных точек, как скользящие отражения.

Для полной классификации всех движений пространства нам осталось рассмотреть движения второго рода, не имеющие неподвижных точек. Они окажутся скользящими отражениями.

Скользящим отражением называется композиция отражения в некоторой плоскости и переноса ("скольжения )

Рис. 27.5

Рис. 27.6

вдоль этой плоскости (т. е. переноса на вектор, параллельный этой плоскости).

Легко убедиться, что порядок, в котором производятся здесь отражения и перенос, безразличен (рис. 27.5).

Скользящее отражение задается плоскостью отражения а и вектором переноса Отражение в плоскости можно считать частным случаем скользящего отражения, когда

Основной результат данного пункта опирается на следующую лемму.

Лемма (о композиции переноса и зеркальной симметриии). Композиция переноса и отражения в плоскости, перпендикулярной вектору переноса, есть отражение в некоторой плоскости, параллельной данной.

Пусть вектор а задает перенос и плоскость задает отражение Возьмем плоскость , получающуюся из а переносом на вектор — (рис. 27.6).

Легко видеть, что точки этой плоскости неподвижны при движении . Поэтому

Теорема (о скользящем отражении). Движение пространства второго рода, не имеющее неподвижных точек, есть скользящее отражение.

Пусть f — движение пространства второго рода, не имеющее неподвижных точек. Возьмем любую точку

А и пусть . Тогда, если Т — перенос на вектор то отображение будет движением второго рода, имеющим точку В своей неподвижной точкой. Действительно, Согласно теореме предыдущего пункта, движение g является зеркальным поворотом, т. е. композицией отражения в некоторой плоскости а и поворота ( вокруг некоторой прямой , т.е. .

Пусть — перенос на вектор , т. е. перенос, обратный к Тогда из равенства следует, что Поскольку то

Разложим вектор а на составляющие а, и из которых первая параллельна плоскости а, а вторая перпендикулярна ей. Поскольку

то из этого равенства и равенств получаем

Так как , то по предыдущей лемме движение есть отражение в некоторой плоскости Поэтому из (7) получаем

Покажем, что — тождественный поворот. Так как то . Значит движение является зеркальным поворотом и не зависит от порядка выполнения отражения S и поворота Из этого равенства и (8) получаем, что

Если не тождественный поворот, то, поскольку по лемме движение является поворотом вокруг некоторой прямой . А тогда и является зеркальным поворотом, а потому f имеет неподвижную точку, что противоречит условию теоремы. Поэтому а тогда , т.е. скользящее отражение.