Для изучения дальнейших свойств инверсии удобно применить метод координат. Введем систему прямоугольных координат, поместив их начало в центр О окружности инверсии (рис. 29.3). Пусть точка А имеет координаты а соответствующая ей точка А, — координаты Тогда
Поэтому . Найдем множитель . Так как , то . Из равенства (2) следует, что
Умножив обе части последнего равенства на ОА, получим
Так как , то из (4) получаем, что Следовательно, инверсия задается равенствами
Поскольку то выражаются через по таким же формулам:
Ясно, что для пространства все рассуждения аналогичны, а потому в пространстве инверсия задается равенствами:
(рис. 29.3). Пусть точка А имеет координаты 
а соответствующая ей точка А, — координаты 
Тогда 
. Найдем множитель 
. Так как 
, то 
. Из равенства (2) следует, что
, то из (4) получаем, что 
Следовательно, инверсия 
задается равенствами
то 
выражаются через 
по таким же формулам:
