26.6. Теорема подвижности пространства.

Оказывается, если нам известен род движения, то теорема о задании движения может быть усилена: вместо четырех пар соответстсвующих точек достаточно рассматривать три. Об этом и говорится в следующей теореме.

Теорема (подвижности пространства). Пусть в пространстве даны два равных треугольника и АВС. Тогда существует единственное движение первого рода и единственное движение второго рода, которые переводят А в . Каждое из этих движений получается из другого с помощью композиции его с отражением в плоскости .

Существование движений, переводящих треугольник ABC в треугольник АВС, вытекает из теоремы о задании движения (п. 26.3). Докажем, что их только два.

Пусть два движения и g удовлетворяют условию теоремы. Рассмотрим движение . Точки А, В, С являются неподвижными точками этого движения. Действительно,

Аналогично,

и

В силу леммы о неподвижной плоскости (п.6.4) и следствия признака зеркальной симметрии (п.6.4), движение либо тождественное, либо является зеркальной симметрией относительно плоскости а, в которой лежит треугольник АВС. Если , то Если же то а потому . Поскольку движение второго рода, то из двух движений одно является движением первого рода, а второе — движением второго рода.