21.3. Сонаправленность и равенство векторов.
Угол между векторами. Ненулевые векторы АВ и MN называются сонаправленными или одинаково направленными, если лучи АВ и MN сонаправлены (рис. 21.3). Напомним,
помним, что понятие сонаправленности лучей было определено в п. 3.6. Для сонаправленных векторов Ли b применяется обозначение: 
.
Рис. 21.3
Из данного определения и сонаправленности двух лучей, сонаправленных с третьим лучом (лемма 2 п. 3.6), вытекает аналогичный признак сонаправленности векторов: два вектора, сонаправленные с третьим вектором, сонаправлены (рис. 21.4).
Рис. 21.4
О двух коллинеарных, но не сонаправленных ненулевых векторах говорят, что они направлены противоположно (рис. 21.5). Противоположная направленность векторов а и b обозначается так:
Векторы называются равными, если их длины равны и они сонаправлены. (Равенство нулевых векторов определяется лишь первым из этих условий).
Итак, равенство АВ = MN означает, что, во-первых,
и, во-вторых,
(рис. 21.6). Второе условие проверяется лишь в случае, когда
Из этого определения и сонаправленности двух векторов, сонаправленных с третьим вектором, следует, что равенство векторов обладает обычным свойством: два вектора, равные третьему вектору, равны.
Действительно, длины у них равны, а направление у них
Рис. 21.5
Рис. 21.6
одно и то же, так как два вектора, сонаправленные с третьим вектором, сонаправлены.
Отложить от данной точки вектор, равный данному, значит построить направленный отрезок с началом в этой точке, изображающий данный вектор.
От любой точки в пространстве можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.
Рис. 21.7
Действительно, пусть заданы вектор АВ и некоторая точка М (рис. 21.7). Тогда найдется единственная точка N такая, что MN = АВ. Если точка М не лежит на прямой АВ (рис. 21.7а), то, построив параллелограмм ABNM, найдем искомую точку N. Если же точка М лежит на прямой АВ (рис. 21.7б), то на том луче прямой АВ, который имеет начало в точке М и сонаправлен с лучом АВ, откладываем отрезок MN, равный отрезку АВ. В обоих случаях точка N единственная.
Углом между двумя ненулевыми векторами называется величина образуемого ими угла, когда они отложены от одной точки (рис. 21.8).
Из леммы об углах с сонаправленными сторонами (лемма 1 п. 3.6) вытекает, что угол между векторами не зависит от выбора той точки, от которой эти векторы откладываются (рис. 21.9).
