1.5. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

Во-первых, отметим, что в пространстве, как и на плоскости, прямую можно задать парой ее точек (рис. 1.14).

Рис. 1.15

Действительно, пусть две точки А и В лежат на некоторой прямой а. Допустим, что кроме прямой а через точки А, В проходит еще прямая b (рис. 1.15). Прямая а лежит в некоторой плоскости а. Прямая b имеет с этой плоскостью две общие точки А и В. По аксиоме 3 прямая, имеющая с плоскостью две общие точки, лежит в этой плоскости. Поэтому прямая b лежит в плоскости а. Но в плос

кости а выполняется планиметрия, и, следовательно, через точки А, В проходит только одна прямая. Значит, прямые а и b совпадают.

Итак, мы доказали, что в пространстве через две точки проходит лишь одна прямая.

Замечание. Предложение о том, что в пространстве через две точки проходит единственная прямая, нуждалось в обосновании. Ведь не для любых фигур утверждение, верное в планиметрии, справедливо и в стереометрии. Так, например, на плоскости через две данные точки N и S проходит лишь одна окружность с диаметром NS, а в пространстве таких окружностей бесконечное множество (рис. 1.16).

Рис. 1.16

Иллюстрацией могут служить все меридианы глобуса, проходящие через Северный полюс N и Южный полюс S.

О прямой, проходящей через точки А, В, говорят "прямая АВ" и пишут (АВ).

Но кроме этого способа в пространстве есть и еще один способ задания прямой — пересечением двух проходящих через нее плоскостей (рис. 1.17).

Рис. 1.17

А теперь перечислим возможные случаи расположения двух прямых в пространстве. Первые два из них вам хорошо известны.

1) Две прямые лежат в одной плоскости и имеют единственную общую точку — пересекающиеся прямые (рис. 1.18).

2) Две прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек — параллельные прямые (рис. 1.19).

3) Но в пространстве две прямые могут и не лежать в одной плоскости (рис. 1.20). Такие прямые называются скрещивающимися.

Рис. 1.18

Рис. 1.19

Рис. 1.20

Ясно, что у скрещивающихся прямых нет общей точки, потому что тогда бы они лежали в одной плоскости (предложение 3 п. 1.1). Поэтому о трех случаях возможного расположения двух прямых в пространстве можно сказать и так:

Если две прямые имеют общую точку, то это пересекающиеся прямые (они всегда лежат в одной плоскости). Если же две прямые не имеют общей точки, то они либо лежат в некоторой плоскости, и тогда это — параллельные прямые, либо они не лежат в одной плоскости, и тогда это — скрещивающиеся прямые.

Заметим, что эти рассуждения дают нам еще один способ задания положения плоскости в пространстве: двумя параллельными прямыми, лежащими в этой плоскости (рис. 1.19).