25.4. Параллельный перенос.

Слово "вектор" латинское и оно означает "переносчик". Это соответствует той зависимости, которая связывает векторы и движения, называемые параллельными переносами или, короче, переносами. Они определяются в пространстве так же, как на плоскости: параллельным переносом фигуры называется такое ее преобразование, при котором все ее точки перемещаются на один и тот же вектор, т.е. на одно и то же расстояние в одном и том же направлении (рис. 25.7)

Рис. 25.7

Рис. 25.8

Таким образом, при переносе каждым двум точкам X и Y фигуры F сопоставляются такие точки X и Y, что

Параллельный перенос фигуры задается переносом одной ее точки: если указано, что точка А переходит в точку А, то для любой другой точки в силу (5) . Тем самым перенос задается вектором .

Перенос на вектор а будем обозначать .

Параллельный перенос сохраняет расстояния, т.е. перенос является движением.

Действительно, из равенства (5) и леммы о равенстве векторов (п. 21.4) следует, что

Из равенства (6) получаем, во-первых, что , т.е. перенос — движение, а, во-вторых, что , т.е. перенос сохраняет направления векторов.

Итак, перенос является движением, сохраняющим направления.

Верно и обратное утверждение: движение, сохраняющее направления, является параллельным переносом.

Действительно, если движение сохраняет направления, то выполняется равенство (6). А из (6) следует (5),

которое и показывает, что рассматриваемое преобразование — параллельный перенос.

Если выполнить последовательно сначала перенос на вектор а, а затем перенос на вектор b, то в итоге получим перенос на вектор , т.е. перенос . Поэтому композицией переносов является перенос , т. е. выполняется равенство

рис. 25.8).

Рис. 25.9