27.2. Движения первого рода как винтовые движения.
В этом пункте мы докажем, что любое движение пространства первого рода есть винтовое движение.
Винтовым движением называется композиция поворота и переноса на вектор, параллельный оси поворота. (О таком переносе говорят, что он происходит вдоль оси поворота).
Представление о винтовом движении дает ввинчивающийся или вывинчивающийся винт. Отсюда его название.
Поворот и перенос можно считать частными случаями винтового движения: винтовое движение с нулевым
переносом — это поворот, а винтовое движение с нулевым поворотом — это перенос.
Порядок, в котором происходят перенос и поворот в винтовом движении не имеет значения — результат от этого не зависит (убедитесь в этом!).
Доказательство основного результата этого пункта опирается на следующую лемму.
Лемма (о композиции переноса и поворота). Композиция переноса и нетождественного поворота вокруг прямой, перпендикулярной направлению переноса, есть поворот вокруг некоторой прямой, параллельной оси данного поворота.
Рис. 27.1
Пусть f — поворот вокруг прямой 
перенос на вектор 
Возьмем любую плоскость 
(рис. 27.1). Пусть О — точка пересечения а и 
. Построим в плоскости а равнобедренный треугольник 
с вершиной О и таким основанием 
, что 
и с углом 
при вершине, равным углу поворота f. Такой треугольник можно построить единственным образом. Поворот f переводит А в А, т.е. 
. Точка А является неподвижной точкой движения 
так как 
Более того, любая точка прямой Г, которая параллельна 
и проходит через точку О, является неподвижной для движения 
и других неподвижных точек 
нет. По признаку поворота 
— поворот вокруг прямой V .
Теорема (о винтовом движении). Любое движение пространства первого рода есть винтовое движение, которое, в частности, может быть переносом или поворотом вокруг прямой.
Пусть f — движение пространства первого рода. Возьмем любую точку А и пусть 
. Если 
— перенос на вектор 
то движение 
имеет точку А своей неподвижной точкой, так как 
. Поэтому 
есть поворот g вокруг некоторой прямой 
проходящей через А:
Пусть 
— перенос на вектор 
, т. е. перенос, обратный к 
. Тогда из равенства (1) получаем
Поскольку 
, то из (2) следует, что
Разложим вектор 
на составляющие векторы b и С, из которых первый параллелен прямой 
а второй перпендикулярен ей. Тогда
(см. (7) п. 25.4). Поэтому из (3) вытекает, что
Но по лемме движение 
— это поворот h вокруг некоторой прямой 
параллельной прямой 
Поэтому 
. Так как вектор 
, то f есть винтовое движение — композиция переноса 
на вектор b и поворота h вокруг прямой 
Итак, никаких других движений первого рода, кроме винтовых, нет. Одним из примеров реализации этой теоремы может служить работа башенного крана со стрелой переменной длины: он может переместить груз из любого места строительной площадки в любое другое ее место.
