4.8. Сфера — фигура вращения.

Предметы, имеющие форму фигур вращения, постоянно встречаются в технике, в искусстве, в быту: тарелки, катушки, колеса, вазы и т.д. (рис. 4.19) — все это реальные тела вращения. Они характеризуются тем, что при вращении оси самосовмещаются, как точильные круги, валы турбин и т. п. При этом каждая точка такой фигуры, не лежащая на оси вращения, движется по окружности с центром на оси. Поэтому такие фигуры как бы состоят из окружностей

Рис. 4.21

Рис. 4.22

Рис. 4.23

Эти окружности имеют центры на одной прямой и лежат в плоскостях, перпендикулярных этой прямой.

Таким свойством обладает и сфера. Ее осью вращения является любая прямая, проходящая через центр сферы (рис. 4.20).

И в общем случае фигуру вращения определим указанным свойством. Пусть F — некоторая фигура в пространстве, а — некоторая прямая и X — любая точка фигуры F (рис. 4.21). Проведем через X плоскость . В этой плоскости построим окружность с центром на прямой а, проходящую через точку X. Если фигура F содержит такую каждую окружность, то она называется фигурой вращения с осью а. Построенные окружности называются параллелями фигуры вращения.

Другим семейством плоских фигур, заполняющим фигуру вращения F, является семейство ее меридианов. Меридианы получаются в сечении фигуры F полуплоскостями, ограниченными осью фигуры (рис. 4.22). Все меридианы фигуры вращения равны (рис. 4.23). Действительно, соответствующие друг другу точки этих фигур лежат на одной и той же параллели. Равенство расстояний для соответствующих пар точек следует из равенства прямоугольных трапеций.

Если представить себе, что полуплоскости, ограниченные осью вращения фигуры, поворачиваются вокруг этой оси, то все меридианы фигуры вращения будут самосовмещаться. В согласии с этим говорят, что фигура вращения получается в результате вращения плоской фигуры вокруг оси, лежащей в той же плоскости. Например,

Рис. 4.24

меридиан сферы — полуокружность, и сфера получается вращением полуокружности вокруг ее диаметра. А шар получается вращением полукруга вокруг его диаметра.