25.3. Преобразования симметрии.

1) Центральной симметрией фигуры F с центром О называется такое преобразование этой фигуры, которое сопоставляет каждой ее точке точку, симметричную относительно точки О (рис. 25.4а). Центральную симметрию с центром О обозначаем

Центральная симметрия является движением. Действительно, пусть при центральной симметрии точки X, Y перешли в точки (рис. 25.4б).

Тогда из определения центральной симметрии следует, что

Поэтому

Из равенства следует, что, во-первых, центральная симметрия сохраняет расстояния, а потому является движением, и, во-вторых, что центральная симметрия изменяет направления векторов на противоположные.

2) Осевой симметрией фигуры F относительно прямой а называется такое преобразование этой фигуры, которое сопоставляет каждой ее точке точку, симметричную относительно прямой а (рис. 25.5 а).

Осевую симметрию относительно прямой а обозначаем а прямую а называем осью симметрии

Рис. 25.6

Осевая симметрия является движением. Действительно, пусть при осевой симметрии с осью а точки А, В перешли в точки (рис. 25.5. б). Введем в пространстве прямоугольную систему координат x, у, z так, чтобы прямая а стала осью X в этой системе. Пусть точка , а точка Тогда

а потому

Итак, осевая симметрия сохраняет расстояния, т.е. является движением.

3) Зеркальной симметрией фигуры F относительно плоскости а (или отражением фигуры F в плоскости а) называется такое преобразование, при котором каждой точке данной фигуры сопоставляется точка, симметричная ей относительно плоскости (рис.25.6а). Это преобразование называется также симметрией относительно плоскости а. Оно обозначается так:

Симметрия относительно плоскости является движением.

Действительно, пусть симметрия относительно плоскости а переводит точки А, В в точки

и (рис. 25.6 б). Введем в пространстве такую систему прямоугольных координат , чтобы плоскость а в этой системе была координатной плоскостью Пусть в этой системе координат Тогда

Поэтому

Итак, симметрия относительно плоскости сохраняет расстояния, т.е. является движением.

Отметим, что поскольку отношение симметричности для всех трех видов симметрий взаимно, т.е. если точка А симметрична точке А, то А симметрична точке А (относительно точки, прямой или плоскости), то преобразование, обратное любой из симметрий, является этой же симметрией. Преобразование f, для которого называется инволюцией. Итак, все симметрии являются инволюциями.

Отметим также, что множество неподвижных точек центральной симметрии состоит из одной точки О — центра симметрии, для осевой симметрии оно состоит из оси симметрии — прямой а, а для зеркальной симметрии относительно плоскости а множество неподвижных точек является плоскостью симметрии — плоскостью а.