§ 15. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОБЪЕМА ИНТЕГРАЛОМ

15.1. О методах измерения объемов.

Метод исчерпывания, о котором шла уже речь в предыдущем параграфе, был введен в Древней Греции в IV в. до н.э. одним из величайших геометров — Евдоксом, а самые сложные задачи об объемах этим методом в древности были решены в III в. до н.э. Архимедом. Можно даже сказать, что в решении этих задач Архимед был предшественником современного интегрального исчисления. Если следовать за Евдоксом и Архимедом, то теперь мы должны были бы

Рис. 15.1

найти методом исчерпывания объем пирамиды, строя для нее "чертову лестницу" (рис. 15.1) и получив (в результате очень непростых доказательств) формулу, согласно которой объем пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту. Затем можно было бы перейти к объему конуса и объему шара.

Но ведь вы уже знакомы сейчас с такими фундаментальными понятиями современной математики как производная и интеграл. Эти понятия появились в конце XVII века в работах И. Ньютона и Г. Лейбница, в частности, при решении геометрических задач, в том числе и задачи об объеме тел.

Воспользуемся этими современными средствами.

Рис. 15.2