8.2. Сечение конуса плоскостью, параллельной плоскости основания.

Теорема (о сечении конуса). Если плоскость пересекает конус и параллельна плоскости его основания, то сечение конуса такой плоскостью подобно основанию конуса. Коэффициент их подобия равен отношению расстояния от вершины конуса до плоскости сечения к высоте конуса.

Рис. 8.4

Напомним, что фигура F подобна фигуре F с коэффициентом , если можно так сопоставить их точки, что для любых точек X, Y фигуры F и соответствующих им точек XY фигуры F (рис. 8.5).

Пусть Р — вершина конуса К, фигура F — его основание, F — сечение конуса К плоскостью а, параллельной плоскости а основания F (рис. 8.6). Докажем, что фигуры F и F подобны. Для этого каждой точке сопоставим точку , в которой отрезок РХ пересекает плоскость а.

Проведем высоту РА конуса К и пусть А — точка, в которой высота РА пересекает плоскость а. Отрезок

Рис. 8.5

Рис. 8.6

РА является высотой конуса К, отсеченного плоскостью а.

Возьмем любые две точки X, Y основания F и пусть X, Y — соответствующие им точки F. Рассмотрим треугольники PXY и PXY. Они подобны, так как отрезки XY и XY параллельны (поскольку плоскость PXY пересекает параллельные плоскости а и а по параллельным прямым). Поэтому

Теперь рассмотрим треугольники РАХ и РАХ. Они также подобны и потому

Из равенств (1) и (2) следует, что , а это и означает подобие фигур F и F с коэффициентом .