§ 19. МЕТОД КООРДИНАТ
19.1. Суть метода координат.
Через метод координат алгебра и геометрия, соединяясь и взаимодействуя, дают богатые плоды, которые они не могли бы дать, оставаясь разделенными. Применение координат и алгебраических методов к исследованию геометрических объектов и к решению геометрических задач составляет целый раздел геометрии, называемый аналитической геометрией.
Используя метод координат, можно решать задачи двух видов.
Во-первых, задавая фигуры уравнениями (неравенствами) и выражая в координатах различные геометрические соотношения, можно применять алгебру и математический анализ к решению геометрических задач. Так в § 18 мы и начали с того, что введя прямоугольные координаты, выразили через них основную геометрическую величину — расстояние между точками. Это был первый шаг в применении метода координат.
Во-вторых, пользуясь координатами, можно истолковывать уравнения и неравенства геометрически и таким образом применять геометрию к алгебре и анализу. Графическое изображение функций — первый пример такого применения метода координат.
Метод координат уже применялся в планиметрии для задания уравнениями простейших фигур: там были выведены уравнения прямой и окружности. Напомним, что фигура F задается на координатной плоскости 
уравнением 
если точка 
тогда и только тогда, когда 
Например, точка 
принадлежит окружности С радиуса R с центром в точке 
тогда и только тогда, когда 
т.е. тогда и только тогда, когда
Рис. 19.1
Равенство (1) и является уравнением окружности С (рис. 19.1). Заметим, что уравнение (1) является следствием формулы (2) для расстояния между точками на координатной плоскости 
В стереометрии также говорят, что пространственная фигура F задается уравнением 
если точка 
тогда и только тогда, когда 
Аналогичные определения даются и в случае задания пространственных фигур неравенствами, а также системами уравнений и неравенств.
Например, точка 
принадлежит сфере S с центром 
и радиусом R тогда и только тогда, когда 
, т. е. тогда и только тогда, когда
Равенство (2) является уравнением сферы S. Оно является следствием формулы (1) п. 18.4 для расстояния между точками в пространстве, подобно тому, как уравнение окружности (1) было следствием формулы для расстояния между точками на плоскости.
Очевидно, что шар D, ограниченный сферой S, задается неравенством
поскольку 
тогда и только тогда, когда 
Отметим, что в частном случае, когда центром сферы S является начало координат, т.е. 
, сфера S задается уравнением
задается уравнением 
Действительно, точка 
лежит в координатной плоскости 
тогда и только тогда, когда ее координата 
а координатная плоскость 
— уравнением 