§ 19. МЕТОД КООРДИНАТ

19.1. Суть метода координат.

Через метод координат алгебра и геометрия, соединяясь и взаимодействуя, дают богатые плоды, которые они не могли бы дать, оставаясь разделенными. Применение координат и алгебраических методов к исследованию геометрических объектов и к решению геометрических задач составляет целый раздел геометрии, называемый аналитической геометрией.

Используя метод координат, можно решать задачи двух видов.

Во-первых, задавая фигуры уравнениями (неравенствами) и выражая в координатах различные геометрические соотношения, можно применять алгебру и математический анализ к решению геометрических задач. Так в § 18 мы и начали с того, что введя прямоугольные координаты, выразили через них основную геометрическую величину — расстояние между точками. Это был первый шаг в применении метода координат.

Во-вторых, пользуясь координатами, можно истолковывать уравнения и неравенства геометрически и таким образом применять геометрию к алгебре и анализу. Графическое изображение функций — первый пример такого применения метода координат.

Метод координат уже применялся в планиметрии для задания уравнениями простейших фигур: там были выведены уравнения прямой и окружности. Напомним, что фигура F задается на координатной плоскости уравнением если точка тогда и только тогда, когда Например, точка принадлежит окружности С радиуса R с центром в точке тогда и только тогда, когда т.е. тогда и только тогда, когда

Рис. 19.1

Равенство (1) и является уравнением окружности С (рис. 19.1). Заметим, что уравнение (1) является следствием формулы (2) для расстояния между точками на координатной плоскости

В стереометрии также говорят, что пространственная фигура F задается уравнением если точка тогда и только тогда, когда

Аналогичные определения даются и в случае задания пространственных фигур неравенствами, а также системами уравнений и неравенств.

Например, точка принадлежит сфере S с центром и радиусом R тогда и только тогда, когда , т. е. тогда и только тогда, когда

Равенство (2) является уравнением сферы S. Оно является следствием формулы (1) п. 18.4 для расстояния между точками в пространстве, подобно тому, как уравнение окружности (1) было следствием формулы для расстояния между точками на плоскости.

Очевидно, что шар D, ограниченный сферой S, задается неравенством

поскольку тогда и только тогда, когда

Отметим, что в частном случае, когда центром сферы S является начало координат, т.е. , сфера S задается уравнением

Рис. 19.2

Рис. 19.3

Еще один простой пример: плоскость задается уравнением Действительно, точка лежит в координатной плоскости тогда и только тогда, когда ее координата

Аналогично, координатная плоскость XZ задается уравнением а координатная плоскость — уравнением