1.4. Аксиомы стереометрии.

Как вы знаете еще из курса планиметрии, в геометрии только самые начальные сведения берутся из практики и наблюдения, они наглядны и очевидны. Исходя из них, дальнейшие выводы получают путем логических рассуждений. Приступая к изучению стереометрии, мы выбрали за исходное понятие понятие плоскости, теорию которой — планиметрию — вы уже изучили, она вам уже знакома. Мы определили плоскость как фигуру в пространстве, на которой выполняется планиметрия. Из наглядно очевидных утверждений о точках, прямых и плоскостях, сформулированных в п.п. 1.1-1.3, можно выбрать как аксиомы несколько утверждений, опираясь на которые уже

можно построить всю стереометрию. Выбор этот можно сделать по-разному. Например так:

Аксиома 1 (аксиома плоскости). В пространстве существуют плоскости. Через каждые три точки пространства проходит плоскость.

Аксиома 2 (аксиома пересечения плоскостей). Если две плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть их общая прямая.

Аксиома З (аксиома о прямой и плоскости). Если прямая проходит через две точки плоскости, то она лежит в плоскости.

Аксиома 4 (аксиома расстояния). Расстояние между любыми двумя точками пространства одно и то же на всех плоскостях, содержащих эти точки.

А все остальные утверждения стереометрии можно вывести из этих четырех аксиом. Недаром великий Ньютон говорил: "Геометрия за то и прославляется, что, заимствовав извне столь мало основных положений, она столь многого достигает".

Вывод из аксиом 1—4 остальных утверждений п.п. 1.1 — 1.3 достаточно прост и мало интересен. Но как иллюстрацию строгого вывода докажем два из них.

Теорема 1. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит лишь одна плоскость.

Пусть три точки А, В, С не лежат на одной прямой. По аксиоме 1 через эти три точки проходит плоскость а. Докажем, что она только одна. Допустим, что через точки А, В, С проходит еще одна плоскость Р, отличная от а. Плоскости имеют общие точки (например, точку А). По аксиоме 2 пересечением плоскостей является их общая прямая. На этой прямой лежат все общие точки плоскостей , а значит и точки А, В, С. Но это противоречит условию теоремы, так как согласно ему точки А, В, С не лежат на одной прямой. Итак, через точки А, В, С проходит лишь одна плоскость а.

Теорема 2. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна.

Пусть даны прямая а и не лежащая на ней точка А. Возьмем на прямой а две точки В и С (рис. 1.13).

Рис. 1.13

По аксиоме 1 через точки А, В, С проходит плоскость а. Прямая а имеет с плоскостью а две общие точки В и С и, значит, по аксиоме 3, лежит на ней. Таким образом, плоскость а и есть плоскость, проходящая через прямую а. и точку А. Докажем ее единственность. Допустим, что есть еще одна плоскость Р, содержащая точку А и прямую а. Тогда она содержит и точки В и С. По предыдущей теореме плоскости совпадают.

В заключение этого пункта еще раз отметим, что из утверждений п.п. 1.1-1.3 в качестве аксиом можно было бы выбрать и другие утверждения. Например, заменить аксиому 1 на утверждение о том, что через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна. Так, например, сделано в учебнике геометрии А.В. Погорелова [4].

Рис. 1.14