Мы имеем
\[
\Phi_{n}^{t}=\prod_{k=0}^{n-1}\left(U_{1}^{(k)} \prod_{j=k+1}^{n-1} U_{2}^{(k j)}\right) .
\]
По нашим правилам игры схема (19) имеет полиномиальную длину в том смысле, что она включает только $O\left(n^{2}\right)$ гейтов. Однако, выполнение $U_{2}^{(k j)}$ требует управления переменным фазовым множителем, который стремится к 1 при росте $k-j$. Более того, произвольные пары кубитов должны позволять такое квантовомеханическое сочетание, что для больших $n$ взаимодействие между кубитами должно быть нелокальным. Вклад этих усложнений в понятие общей сложности не может быть оценен без вникания в детали физического исполнения. Поэтому я добавлю несколько слов по описанию этого эффекта.

Реализация квантового регистра, предложенная в $[\mathrm{CZ}]$, состоит из совокупности ионов (заряженных атомов) в линейной гармонической ловушке (оптическом резонаторе). Два электронных состояния каждого иона обозначаются $|0\rangle$ и $|1\rangle$ и представляют кубит. Лазерные импульсы, передаваемые в резонатор по оптическим волокнам и управляемые классическим компьютером, используются для реализации гейтов и чтения выхода. Кулоновское отталкивание удерживает ионы на удалении (пространственная избирательность), что позволяет готовить каждый ион отдельно в любой суперпозиции $|0\rangle$ и $|1\rangle$, при помощи лазерного импульса подходящей длительности и с тщательно подготовленной фазой. Это же кулоновское отталкивание позволяет производить коллективные возбуждения целого кластера, кванты которых называются фотонами. Такие возбуждения также производятся лазерными импульсами при соответствующих условиях резонанса. Получаемая резонансная избирательность в сочетании с пространственной избирательностью позволяют реализовать контроллируемое скрещенное состояние ионов, которое может быть использовано для моделирования двух- и трехбитовых гейтов. Подробное и ясное математическое объяснение см. в [Ts] (лекция 8).

Другое недавнее предложение ([GeC]) – использовать отдельную молекулу как квантовый регистр, представляя кубиты ядерными спинами отдельных атомов с использованием взаимодействий через химические связи для реализации логических операций с несколькими битами. Начальную технологию этого проекта обеспечивает классическая техника ядерного магнитного резонанса, разработанная еще в 40 -х годах, которая позволяет работать со многими молекулами одновременно.