Сначала обсудим полный набор измерений машины Тьюринга и параметров системы записи в предложенной здесь модели с гамильтонианом, не зависящим от времени. Результаты этих вычислений должны содержать значения $l, \lambda, j, k, \phi$, которые описывают первые $J$ шагов вычислений и состояния спиновых конфигураций по мере возвращения в начальное состояние.

Пусть такое измерение требует промежутка времени длины $\delta$, центрированного относительно момента времени $n \Delta$ при $n<J$ и пусть числа ( $l \lambda j n \phi)$ определяют состояние машины Тьюринга и системы записи после $n$ шагов. Это состояние описывается вектором $\Psi_{l \lambda j n \phi}^{\gamma}=$ $=\Psi^{\gamma}(n \Delta)$. Можно показать, что если $\delta \ll \Delta$, то в результате измерения с большой вероятностью, равной $1-c \delta^{2} / \Delta^{2}$ (где $c$ — некоторая постоянная порядка единицы), будут получены значения ( $l \lambda j n \phi)$. Вероятность других результатов — величина порядка $c \delta^{2} / \Delta^{2}$.

Любое такое измерение с необходимостью возмущает состояние системы. Причина этого заключаегея в том, что модельная система находится в собственном состоянии указанных трех переменных (как это определяется равенством (9)) только в момент времени $t=n \Delta$. Во все другие моменты времени состояние $\Psi^{\gamma}(t)$ является линейной суперпозицией всех $N_{\gamma}$ конфигураций на орбите вычисления и не может быть собственным вектором ни одной из упомянутых выше наблюдаемых.

В частности, можно показать ${ }^{1}$, что к концу взаимодействия, осуществляющего измерения, в момент времени $n \Delta+\delta / 2$, состояние системы, которое соответствовало числам ( $l \lambda j n \phi)$, определяется вектором $\theta_{l \lambda j n \phi}^{\gamma}$, где $\left|\theta_{l \lambda j n \phi}^{\gamma}\right|^{2}=1-c \delta^{2} / \Delta^{2}$ и
\[
\theta_{l \lambda j n \phi}^{\gamma}=\Phi+\Psi^{\gamma}(n \Delta+\delta / 2)\left(\Psi^{\gamma}(n \Delta+\delta / 2) \mid, \theta_{l \gamma j n \phi}^{\gamma}\right),
\]
$\Phi$ — это (ненормированное) состояние, которое ортогонально к $\Psi^{\gamma}(n \Delta+$ $+\delta / 2$ ), причем главное слагаемое в разложении квадрата модуля этого вектора по степеням $\delta / \Delta$ имеет порядок $\delta^{2} / \Delta^{2}$. Поскольку $\Psi^{\gamma}(n \Delta+$ $+\delta / 2)$ — это состояние, в котором находилась бы система в отсутствии измерения, то $\Phi$ представляет собой возмущение, вызванное измерением, призванным выделить числа $l \lambda j n \phi$.

Состояния модели $\theta_{f}^{\gamma}$, связанные с другими исходами $f$, таковы, что $\left|\theta_{f}^{\gamma}\right|^{2}<c \delta^{2} / \Delta^{2}$. Они соответствуют большому возмущению состояния системы во время измерения, поэтому его нельзя считать представителем какой-либо стадии вычисления машины Тьюринга.

Вышеприведенное показывает, что если полная система измерений должна дать правильный результат с близкой к единице вероятностью и не слишком изменить состояние системы, то длительность измерения $\delta$ должна быть много меньше интервала между вычислительными шагами $\Delta$. Сделать это трудно, особенно если длина отрезка $\Delta$ мала.
${ }^{1}$ Пусть $\left\{\phi_{f} \mid f=0,1, \ldots, N_{\gamma}-1\right\}$ и $\phi_{b}$ обозначают ортонормированные состояния измерительного аппарата, где $\phi_{b}$ — это начальное состояние аппарата. Пусть гамильтониан измерения равен $H^{\prime}=(\pi \hbar / 2 \delta)\left[\sum_{f}\left(P_{f} \otimes \sigma_{f}\right)-1\right]$, где $P_{f}$ — проекционный оператор, выделяющий состояние $\Psi_{f}^{\gamma}$, а оператор $\sigma_{f}$ переставляет состояния $\phi_{f}$ и $\phi_{b}$. Измерение описывается гамильтонианом $H^{\prime}$, который включается в момент времени $n \Delta-\delta / 2$ и выключается в момент $n \Delta+\delta / 2$, вместе с гамильтонианом $H_{\gamma}$ (уравнение (48)), который действует постоянно. Состояние системы «модель + аппарат» в момент времени $n \Delta+\delta / 2$ определяется формулой $\sum_{f} \theta_{f}^{\gamma} \otimes \phi_{f}+\theta_{b}^{\gamma} \otimes \phi_{b}$. Свойства $\theta_{f}^{\gamma}$ и $\theta_{b}^{\gamma}$ описаны в тексте.
Другим следствием того, что полное измерение, производимое за конечное время $\delta$, с необходимостью возмущает состояние системы, является то обстоятельство, что измерение с необходимостью приводит к диссипации энергии. В этом можно убедиться, заметив, что состояние системы в конце измерения уже не чистое состояние, а смешанное состояние с конечной энтропией. (Матрица плотности этого состояния получается после вычисления следа по степеням свободы измерительного прибора объединенной матрицы плотности большой системы «модель + измерительный аппарат».) Диссипация энергии, которую можно определить как разность энергии системы в начальном состоянии и энергии конечного состояния $\theta_{l \gamma j n \phi}^{\gamma}$, равна $\pi h / \Delta-\left(\theta_{l \gamma j n \phi}^{\gamma}, H_{\gamma} \theta_{l \gamma j n \phi}^{\gamma}\right)$, т. е. $\left(K \delta^{2} / \Delta^{2}\right)(\pi \hbar / \Delta)$, где $K$ — постоянная порядка единицы.

Очевидно, что для избежания заметного возмущения состояний системы и диссипации энергии длительность измерения $\delta$ должна быть значительно меньше длительности шага вычислений $\delta \ll \Delta$. Однако можно убедиться в том, как трудно этого достичь. Ясно, что лучше избежать подобных измерений.

В отличие от полного набора измерений, можно выяснить, закончено вычисление или нет, рассматривая только подсистему. Для этого достаточно изучить две соседние клетки системы записи. Если содержимое $k$-й и $(k+1)$-й клеток, проверенное в промежуток времени между $(k+2) \Delta$ и $J \Delta$, одинаково, то вычисление закончилось до $k$-го шага. Противоположный результат означает, что вычисления не остановились на $k$-м шаге.

Обсудим свойства измерений такого рода. В этом случае также в систему будет внесено возмущение, если продолжительность измерения ограничена условием $\delta<\Delta$. Однако практически изменение состояния при переходе от $k$-й к $(k+1)$-й клетке может быть достаточно малым, чтобы позволить увеличить длительность измерения до нескольких $\Delta$, не опасаясь большого возмущения состояния и значительной диссипации энергии. Более точные оценки, которые зависят от чисел $n, k$ и параметров системы, можно получить исходя из равенства (54) для таких $n$, что $k<n<J$.